Where geometry, combinatorics and probabilities meet: some contributions.
Quelques contributions au carrefour de la géométrie, de la combinatoire et des probabilités.
Résumé
The present text is a synthesis of research papers in mathematics, dealing with algebraic geometry, analytic combinatorics and probabilities. The first part is about three-dimensional complex algebraic varieties. It begins with the computation of the singular cohomology of non complete smooth toric varieties under some topological assumption on their fans. Afterwards, we construct a toroidal model for any quotient-singularity, whose computation requires a precise combinatorial study of the action of all finite unitary groups on the projectif plane. The second part develops a "hybrid" adaptation of Darboux's method and of singularity analysis for the coefficients' asymptotic expansion of power series that admit a natural boundary. Numerous applications in analytic combinatorics are given, including the analysis of factorization algorithms for polynomials on finite fields that are used in symbolic computation and for error-correcting codes. The third part gives an answer to a conjecture on $m$-ary search trees that are fundamental data structures in computer science used in searching and sorting. To this end, we consider them as urn processes that can be generalized to so called Pòlya processes, whose general asymptotics is studied. In the last part, we give the construction of a random tree associated with the \emph{Chaos Game Representation} of DNA sequences used in bioinformatics and biomathematics. Results on the height's and insertion depth's asymptotics are established.
Ce travail est la synthèse de travaux de recherches en mathématiques, dont les thèmes sont empruntés à la géométrie algébrique, la combinatoire analytique et les probabilités. La première partie concerne les variétés algébriques complexes de dimension trois. On y présente un calcul de la cohomologie singulière de variétés toriques lisses non complètes, ainsi que la construction d'un modèle toroïdal des singularités-quotient, dont le calcul nécessite l'étude combinatoire fine de l'action des groupes finis de matrices unitaires sur le plan projectif. La deuxième partie développe une adaptation "hybride" de la méthode de Darboux et de l'analyse des singularités pour le développement asymptotique des coefficients d'une série entière dans certains cas de frontière naturelle d'analyticité. De nombreux exemples issus de l'analyse combinatoire sont ainsi traités, dont celui de l'analyse d'algorithmes de factorisation de polynômes sur les corps finis qui sont utilisés en calcul formel et pour les codes correcteurs d'erreurs. La troisième partie résout une conjecture sur les arbres $m$-aires de recherche qui sont une structure fondamentale de l'algorithmiques des ensembles de données. Le modèle considéré est un modèle d'urnes qui se généralise en la notion de processus aléatoires de Pòlya dont le comportement asymptotique général est étudié. Dans la quatrième partie, on construit un arbre aléatoire associé à la \emph{Chaos Game Representation} utilisée en bio-mathématique et en bio-informatique du génôme. Les asymptotiques de la hauteur et de la profondeur d'insertion de ces arbres y sont établies.