Méthodes seminumériques en algèbre différentielle~; applications à l'étude des propriétés structurelles de systèmes différentiels algébriques en automatique
Résumé
The work presented here is based on differential algebra and on the methods of symbolic computation to solve problems of nonlinear control theory which do not lend themselves to a direct numerical resolution. The problem of local algebraic observability consists in deciding if the model state variables can be deduced from perfectly known inputs and outputs. We present a probabilistic algorithm of arithmetic complexity polynomial in the size of the input which allows to test local algebraic observability by determining the non observable variables. The use of modular arithmetic enables to obtain a polynomial bit complexity for this test. This complexity depends linearly on the probability of success which can be arbitrarily fixed. An implementation of this algorithm is available and makes it possible to deal with problems unreachable until now. Taking as a starting point these methods mixing symbolic computation and numerical computation, we propose a generalization of the concept of differential flatness to certain models described by nonlinear partial differential equations. An ordinary differential system is differentialy flat if its solutions can locally be parameterized by arbitrary functions. To study certain nonlinear systems of partial differential equations, one brings back to a system of ordinary differential equations by discretization ; our approach consists in seeking flat discretizations such that the associated parametrization converge when the step of discretization tends towards zero. This method is illustrated by the study of the motion planning problem for three nonlinear models : the semilinear heat equation, the Burger equation with diffusion and a nonlinear model of flexible rod.
Les travaux présentés dans ce mémoire se basent sur les apports de l'algèbre différentielle et les méthodes du calcul symbolique pour résoudre des problèmes d'automatique non linéaire qui ne se prêtent pas à une résolution numérique directe.
Le problème de l'observabilité algébrique locale consiste à décider si les variables d'état intervenant dans un modèle peuvent être déterminées en fonction des entrées et des sorties supposées parfaitement connues.
Nous présentons un algorithme probabiliste de complexité arithmétique polynomiale en la taille de l'entrée permettant de tester l'observabilité algébrique locale en déterminant les variables non observables. L'utilisation du calcul modulaire permet d'obtenir pour ce test une complexité binaire elle aussi polynomiale. Cette complexité dépend linéairement de la probabilité de succès qui peut être arbitrairement fixée. Une implantation de cet algorithme permet de traiter des problèmes inaccessibles jusqu'à présent.
À partir de ces méthodes mêlant calcul symbolique et calcul numérique, nous proposons une généralisation de la notion de platitude différentielle à certains modèles non linéaires décrits par des équations aux dérivées partielles. Un système différentiel ordinaire est différentiellement plat si ses solutions peuvent être localement paramétrées bijectivement par des fonctions arbitraires.
Pour étudier certains systèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires, on se ramène à un système d'équations différentielles ordinaires par discrétisation ; notre approche consiste à chercher des discrétisations plates telles que les paramétrages associés convergent lorsque le pas de discrétisation tend vers zéro. Cette méthode est illustrée par l'étude du problème de planification de trajectoire réalisée pour trois modèles non linéaires de dimension infinie : l'équation de la chaleur semilinéaire, l'équation de Burger avec diffusion et un modèle non linéaire de tige flexible.
Le problème de l'observabilité algébrique locale consiste à décider si les variables d'état intervenant dans un modèle peuvent être déterminées en fonction des entrées et des sorties supposées parfaitement connues.
Nous présentons un algorithme probabiliste de complexité arithmétique polynomiale en la taille de l'entrée permettant de tester l'observabilité algébrique locale en déterminant les variables non observables. L'utilisation du calcul modulaire permet d'obtenir pour ce test une complexité binaire elle aussi polynomiale. Cette complexité dépend linéairement de la probabilité de succès qui peut être arbitrairement fixée. Une implantation de cet algorithme permet de traiter des problèmes inaccessibles jusqu'à présent.
À partir de ces méthodes mêlant calcul symbolique et calcul numérique, nous proposons une généralisation de la notion de platitude différentielle à certains modèles non linéaires décrits par des équations aux dérivées partielles. Un système différentiel ordinaire est différentiellement plat si ses solutions peuvent être localement paramétrées bijectivement par des fonctions arbitraires.
Pour étudier certains systèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires, on se ramène à un système d'équations différentielles ordinaires par discrétisation ; notre approche consiste à chercher des discrétisations plates telles que les paramétrages associés convergent lorsque le pas de discrétisation tend vers zéro. Cette méthode est illustrée par l'étude du problème de planification de trajectoire réalisée pour trois modèles non linéaires de dimension infinie : l'équation de la chaleur semilinéaire, l'équation de Burger avec diffusion et un modèle non linéaire de tige flexible.
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