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Habilitation à diriger des recherches

Aspects topologiques et chaotiques en mécanique quantique

Résumé : Beaucoup de phénomènes physiques sont décrits ou modélisés par des ondes (ondes acoustiques, électromagnétiques, sismiques, ou quantiques,...). C'est donc un problème général que de pouvoir décrire l'évolution d'une onde dans un environnement donné. Une question très reliée est de décrire les ondes stationnaires et leurs niveaux d'énergie. Dans ce travail l'expérimentation numérique joue un rôle important.

Chaos quantique:

Lorsque l'onde est piégée dans une cavité (ex: onde quantique d'un atome dans une molécule) son comportement peut être très complexe à cause de phénomènes de dispersion et d'interférences. En particulier dans une cavité chaotique (où les trajectoires sont toutes instables) l'onde va se disperser très vite et de nombreux phénomènes d'interférences, parfois surprenant, vont survenir. Par exemple dans certains modèles très particuliers (“ l'application du Chat d'Arnold ”), on a observé qu'un paquet d'onde se reforme parfaitement après un temps très court, alors qu'un nuage de particules se distribuerait de façon uniforme. Ces phénomènes d'interférences sont mal compris en général. Un des projets de recherche est de montrer que ce phénomène surprenant, et potentiellement riche en applications, pourrait être présent dans beaucoup de modèles de “ chaos quantique ”. Comme conséquence, nous avons démontré l'existence surprenante d'ondes stationnaires localisées sur des orbites périodiques instables (“ scars ”), dans le “ modèle du chat d'Arnold ” quantique. Un des résultat principaux est la construction du seul contre-exemple connu à la conjecture d'unique ergodicité quantique (de Rudnik-Sarnak 1994) qui affirme que pour les dynamiques uniformément hyperboliques toutes les ondes stationnaires deviennent équi-distribuées dans la limite des petites longueurs d'ondes. Une telle propriété a des répercussions en physique mésoscopique pour la conductivité des ondes électroniques, mais aussi en théorie des nombres en mathématiques.

Phénomènes topologiques en physique moléculaire:

Dans une autre série de travaux, nous avons mis en évidence un phénomène topologique assez surprenant que l'on observe très bien dans le spectre d'énergie des petites molécules. Malgré leur petitesse, ces molécules forment des systèmes très complexes car composées d'électrons et de noyaux en interactions, décrits par la mécanique quantique. Nous avons montré qu'une compréhension qualitative des propriétés de la molécule (c.a.d. donnant les grandes structures du spectre) peut être obtenue grâce à une description topologique des interactions entre les constituants. Autrement dit, en interagissant, les différents constituants de la molécule sont comme noués, et forment un objet géométrique (“ un espace fibré ”) dont la forme se manifeste directement dans le spectre d'énergie. En termes techniques, nous utilisons une théorie mathématique élaborée (le théorème de l'indice d'Atiyah-Singer qui jette un pont entre la topologie et l'analyse), et il est remarquable que cette théorie ait une application directe et non évidente en physique moléculaire. Sans elle, il n'est pas possible d'aborder les spectres complexes de ces molécules. Un projet est d'explorer plus avant les applications de cette approche dans d'autre domaines de la physique quantique des particules en interactions, comme la théorie quantique des champs en régime “ non perturbatif ”.

Systèmes dynamiques hors équilibre. Étude du chaos classique et des résonances de Ruelle.

Dans les lois d'évolution déterministes, le chaos provient de la “ sensibilité aux conditions initiales ”: si les trajectoires issues de deux conditions initiales très voisines divergent l'une de l'autre dans le futur ou le passé (on parle de système hyperbolique), cela implique un comportement compliqué et imprévisible. Un nuage de point va se répandre et s'équidistribuer selon une mesure invariante appelée “ mesure d'équilibre ”. Avec cette idée, dans les années 70', D. Ruelle a montré que l'étude de l'évolution des densités de probabilité est régit par un opérateur, appelé “ opérateur de transfert ”, qui possède un spectre discret, appelé “ résonances de Ruelle ”. Ce spectre décrit le régime transitoire (irréversible) de transition vers l'équilibre ainsi que la mesure d'équilibre finale. Dans des travaux récents nous avons montré que ce spectre peut se comprendre et s'étudier comme un spectre de “ résonances quantiques ”: Une résonance quantique en physique atomique est un état méta-stable qui peut fuir vers l'infini, hors de l'atome après un certain temps. Par analogie, pour les systèmes chaotiques, une résonance de Ruelle est une distribution qui fuit vers l'infiniment petit (ou grands modes de Fourier). Cette nouvelle approche nous permet d'obtenir des résultats nouveaux sur la description du spectre, comme l'existence de gaps ou sur la densité de résonances.
Document type :
Habilitation à diriger des recherches
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Contributor : Frédéric Faure <>
Submitted on : Tuesday, May 12, 2009 - 8:56:13 AM
Last modification on : Wednesday, November 4, 2020 - 2:24:31 PM
Long-term archiving on: : Thursday, June 10, 2010 - 8:19:30 PM

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Frédéric Faure. Aspects topologiques et chaotiques en mécanique quantique. Physique mathématique [math-ph]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2006. ⟨tel-00383066⟩

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