Regular Steinhaus graphs and Steinhaus triangles in finite cyclic groups
Graphes de Steinhaus réguliers et triangles de Steinhaus dans les groupes cycliques
Résumé
The first part of the thesis is devoted to regular Steinhaus graphs. We start by giving a new proof of a theorem due to Dymacek, which states that the Steinhaus matrix associated to an even graph is doubly symmetric, by establishing a relationship between the anti-diagonal entries of a Steinhaus matrix and the vertex degrees of its Steinhaus graph. This theorem permits us to show that a Steinhaus matrix associated to a regular graph of odd degree admits a big multi-symmetric submatrix. We then study multi-symmetric Steinhaus matrices, especially those associated to graphs which admit certain regularity. Finally, this study permits us to verify up to 1500 vertices a conjecture of Dymacek, according to which the complete graph on two vertices K2 is the only regular Steinhaus graph of odd degree, thereby improving by a factor of 12 the previous bound (117 vertices).
The second part deals with Steinhaus triangles in Z/nZ. In 1978 Molluzzo asked whether there exists, for every positive integer n≥1 and for each admissible length m, a balanced sequence of length m in Z/nZ, i.e. a sequence whose Steinhaus triangle contains each element of Z/nZ with the same multiplicity. We answer positively and completely Molluzzo's Problem in every cyclic group of order a power of 3. More generally, we construct an infinite number of balanced sequences in every finite cyclic group of odd order. This is achieved by analyzing Steinhaus triangles of arithmetic progressions in finite cyclic groups. These are the first results on this problem in Z/nZ with n> 3.
The second part deals with Steinhaus triangles in Z/nZ. In 1978 Molluzzo asked whether there exists, for every positive integer n≥1 and for each admissible length m, a balanced sequence of length m in Z/nZ, i.e. a sequence whose Steinhaus triangle contains each element of Z/nZ with the same multiplicity. We answer positively and completely Molluzzo's Problem in every cyclic group of order a power of 3. More generally, we construct an infinite number of balanced sequences in every finite cyclic group of odd order. This is achieved by analyzing Steinhaus triangles of arithmetic progressions in finite cyclic groups. These are the first results on this problem in Z/nZ with n> 3.
La première partie de la thèse porte sur les graphes de Steinhaus réguliers. On commence par obtenir une nouvelle preuve du théorème de Dymacek, selon lequel toute matrice de Steinhaus associée à un graphe pair est bisymétrique, en exhibant une relation entre les éléments de l'antidiagonale d'une matrice de Steinhaus et les degrés des sommets du graphe associé. Ce théorème est ensuite utilisé pour montrer que toute matrice de Steinhaus associée à un graphe régulier de degré impair admet une grande sous-matrice multisymétrique. On étudie alors les matrices de Steinhaus multisymétriques, en particulier celles dont le graphe associé admet une certaine régularité. Cette étude permet enfin de vérifier jusqu'à 1500 sommets une conjecture de Dymacek, qui annonce que le graphe complet à deux sommets K2 est le seul graphe de Steinhaus régulier de degré impair, améliorant ainsi d'un facteur 12 la borne précédemment connue (117 sommets).
La seconde partie porte sur les triangles de Steinhaus dans Z/nZ. En 1978 Molluzzo pose le problème de savoir si, pour tout n≥1 et pour toute longueur admissible m, il existe une suite balancée de longueur m dans Z/nZ, c'est-à-dire une suite dont le triangle de Steinhaus associé contienne chaque élément de Z/nZ avec la même multiplicité. On donne ici une réponse complète et positive au Problème de Molluzzo dans tout groupe cyclique d'ordre une puissance de 3. Plus généralement, on construit une infinité de suites balancées dans tout groupe cyclique d'ordre impair. Ces résultats, qui sont les premiers obtenus sur ce problème dans Z/nZ avec n>3, proviennent de l'étude des triangles de Steinhaus des suites arithmétiques dans les groupes cycliques.
La seconde partie porte sur les triangles de Steinhaus dans Z/nZ. En 1978 Molluzzo pose le problème de savoir si, pour tout n≥1 et pour toute longueur admissible m, il existe une suite balancée de longueur m dans Z/nZ, c'est-à-dire une suite dont le triangle de Steinhaus associé contienne chaque élément de Z/nZ avec la même multiplicité. On donne ici une réponse complète et positive au Problème de Molluzzo dans tout groupe cyclique d'ordre une puissance de 3. Plus généralement, on construit une infinité de suites balancées dans tout groupe cyclique d'ordre impair. Ces résultats, qui sont les premiers obtenus sur ce problème dans Z/nZ avec n>3, proviennent de l'étude des triangles de Steinhaus des suites arithmétiques dans les groupes cycliques.