Optimization of algorithms in fluorescence Diffuse Optical Tomography : contribution of wavelets for modelling
Optimisation d'algorithmes en tomographie optique diffuse de fluorescence : apport des ondelettes pour la modélisation
Résumé
Fluorescence diffuse optical tomography is a powerful tool to develop functional imaging systems. It allows observing in vivo the biodistribution of specific fluorescent markers, for new therapeutics developments, particularly in cancers study. Here, the stress is put on the mathematical problem of the tomography, that can be formulated in terms of an estimation of physical parameters appearing as a set of Partial Differential Equations (PDEs).
The Finite Element Method (FEM) has been chosen here to resolve these PDEs, because it has no restriction considering the geometry or the homogeneity of the system. It is nonetheless well-known to be time and memory consuming, mainly because of the large dimensions of the involved matrices.
Our principal objective is to speed up the model computation.
For that, the first step is devoted to a new method based on a multiresolution technique : all the matrices appearing in the discretized version of the PDEs are projected onto an orthonormal wavelet basis, producing reduced approximation matrices containing essential information. By using these approximation matrices instead of original matrices, the calculation time for the process of solving the PDEs is then significantly reduced.
In a second step, the wavelet-Galerkin method is chosen in place of standard FEM : the interpolation polynomial functions traditionally used by the FEM are directly replaced by Daubechies wavelets functions. The time consuming step of mesh definition is then removed, that also allows reducing calculation time while preserving comparable quality of the solution.
The Finite Element Method (FEM) has been chosen here to resolve these PDEs, because it has no restriction considering the geometry or the homogeneity of the system. It is nonetheless well-known to be time and memory consuming, mainly because of the large dimensions of the involved matrices.
Our principal objective is to speed up the model computation.
For that, the first step is devoted to a new method based on a multiresolution technique : all the matrices appearing in the discretized version of the PDEs are projected onto an orthonormal wavelet basis, producing reduced approximation matrices containing essential information. By using these approximation matrices instead of original matrices, the calculation time for the process of solving the PDEs is then significantly reduced.
In a second step, the wavelet-Galerkin method is chosen in place of standard FEM : the interpolation polynomial functions traditionally used by the FEM are directly replaced by Daubechies wavelets functions. The time consuming step of mesh definition is then removed, that also allows reducing calculation time while preserving comparable quality of the solution.
La tomographie optique diffuse de fluorescence permet de développer des systèmes d'imagerie fonctionnelle. Elle permet le suivi in vivo de la biodistribution de marqueurs spécifiques fluorescents, dans le but de développer de nouvelles thérapies, en particulier dans le domaine de l'étude de cancers. Le travail de cette thèse est appliqué au problème mathématique de la tomographie, qui peut être formulé en termes d'évaluation de paramètres physiques dans un ensemble d'équations aux dérivées partielles (EDPs).
La Méthode des Eléments Finis (MEF) a été choisie ici pour résoudre ces EDPs, car elle permet de ne pas avoir besoin d'hypothèses sur la géométrie et les inhomogénéités du système. Mais elle consomme beaucoup de temps et de mémoire de calcul, principalement en raison des grandes dimensions des matrices impliquées.
Notre objectif est d'accélérer la résolution du système.
Pour cela, dans un premier temps, une analyse multirésolution a été choisie : les matrices apparaissant dans la version discrétisée des EDPs sont projetées sur une base orthonormale d'ondelettes de Haar ; on obtient alors des approximations des matrices, de taille réduite, contenant l'essentiel de l'information. En utilisant ces approximations à la place des matrices originales, le temps de calcul pour la résolution des EDPs est alors sensiblement réduit.
Dans un deuxième temps, la méthode de Galerkin-ondelettes est choisie à la place de la MEF standard : les polynômes d'interpolation classiquement utilisés par la MEF sont directement remplacés par des fonctions d'ondelettes de Daubechies. On s'affranchit alors de l'étape du maillage, coûteuse en temps de calcul, ce qui permet de diminuer également du temps de calcul tout en gardant une qualité comparable de la solution.
La Méthode des Eléments Finis (MEF) a été choisie ici pour résoudre ces EDPs, car elle permet de ne pas avoir besoin d'hypothèses sur la géométrie et les inhomogénéités du système. Mais elle consomme beaucoup de temps et de mémoire de calcul, principalement en raison des grandes dimensions des matrices impliquées.
Notre objectif est d'accélérer la résolution du système.
Pour cela, dans un premier temps, une analyse multirésolution a été choisie : les matrices apparaissant dans la version discrétisée des EDPs sont projetées sur une base orthonormale d'ondelettes de Haar ; on obtient alors des approximations des matrices, de taille réduite, contenant l'essentiel de l'information. En utilisant ces approximations à la place des matrices originales, le temps de calcul pour la résolution des EDPs est alors sensiblement réduit.
Dans un deuxième temps, la méthode de Galerkin-ondelettes est choisie à la place de la MEF standard : les polynômes d'interpolation classiquement utilisés par la MEF sont directement remplacés par des fonctions d'ondelettes de Daubechies. On s'affranchit alors de l'étape du maillage, coûteuse en temps de calcul, ce qui permet de diminuer également du temps de calcul tout en gardant une qualité comparable de la solution.