Méthodes d'optimisation non differentiable pour la résolution de grands problèmes. Applications à la gestion à moyen-terme de la production.
Résumé
This manuscript deals with large-scale non-smooth optimization that may typically arise when performing Lagrangian relaxation of difficult problems. This technique is commonly used to tackle mixed-integer linear programming - or large-scale convex - problems. The resulting dual problem deals with a non-smooth - often separable - function which can be maximized with, for example, bundle algorithms. Chapter 2 gives a general insight on non-smooth optimization. However, in some situations, the dual problem may still be very hard to solve. For instance, when the number of dualized constraints is very large, explicit dualization may no longer be possible or the update of dual variables may fail. In Chapter 3, we study the convergence properties of a dynamic Lagrangian relaxation scheme where a restricted set of constraints is dualized along the iterations, hence reducing the dimension of the dual problem. Another limit of Lagrangian relaxation may appear when the dual function is separable in highly numerous or complex subfunctions. In such situation, the computational burden of solving all local subproblems may be preponderant in the whole iterative process. A natural strategy would be here to perform a dual iteration after having evaluated only a subset of the dual local subfunctions, instead of all of them. In Chapter 4, we apply this incremental approach with a proximal bundle method. The last Chapter presents numerical applications on EDF's mid-term power generation planning problem.
Cette thèse s'intéresse à la résolution de problèmes d'optimisation non-differentiable de grandes tailles résultant le plus souvent d'une relaxation Lagrangienne d'un problème difficile. Cette technique est couramment utilisée pour appréhender des problèmes linéaires avec nombres entiers ou des problèmes convexes complexes. Le problème dual obtenu est non-différentiable - éventuellement séparable - et peut être résolu par exemple par un algorithme de faisceau. Le Chapitre 2 propose une revue de littérature des méthodes d'optimisation non-différentiable. Dans certaines situations, le problème dual peut être lui-même très difficile à résoudre et nécessiter des stratégies adaptées. Par exemple, lorsque le nombre de contraintes dualisées est très élevé, une dualisation explicite peut s'avérer impossible ou la mise a jour des variables duales peut échouer. Au Chapitre 3, nous étudions les propriétés de convergence lorsqu'une relaxation Lagrangienne dynamique est effectuée : seul un sous-ensemble de contraintes est dualisé a chaque itération, ce qui permet de réduire la dimension du problème dual. Une autre limite de la relaxation Lagrangienne peut apparaître lorsque la fonction duale est séparable en un grand nombre de sous fonctions, ou que celles-ci restent difficiles a évaluer. Une stratégie naturelle consiste alors à tirer partie de la structure séparable en effectuant des itérations duales en n'ayant évalué qu'un sous-ensemble des sous fonctions. Au chapitre 4, nous proposons d'utiliser une méthode de faisceau dans ce contexte incrémental. Enfin, le Chapitre 5 présente des applications numériques sur des problèmes de gestion de production d'électricité.