Nombres d'intersection arithmétiques et opérateurs de Hecke sur les courbes modulaires

Résumé : Nombres d'intersection arithmétiques et opérateurs de Hecke sur les courbes modulaires

Cette thèse s'inscrit dans l'étude des opérateurs de Hecke en tant que correspondances sur les courbes modulaires X_0(N). D'une part, nous étudions la relation entre l'algèbre de Hecke et la théorie d'Arakelov; d'autre part, nous entreprenons un début d'étude de la dynamique de l'action des opérateurs de Hecke sur l'ensemble des courbes elliptiques supersingulières.

On considère la courbe modulaire X_0(N) munie de la métrique de Poincaré (métrique hyperbolique). Cette métrique présente des singularités aux points elliptiques et pointes. On suppose que N est sans facteurs carrés. On note XN le modèle entier de cette courbe donné par l'interprétation modulaire étudiée par Deligne et Rapoport. On définit un groupe de Chow arihmétique généralisé CH(N) tel que ses éléments sont représentés par des couples (D,g) avec D un diviseur de Weil sur XN et g un courant de Green admissible pour la métrique de Poincaré. J.-B. Bost et U. Kühn ont développé, de manière indépendante, des généralisations de la théorie d'intersection arithmétique d'Arakelov qui fournissent une forme bilinéaire à valeurs réelles sur CH(N) x CH(N) dans ce cadre où la métrique est singulière. On étudie aussi une version à coefficients réels et à équivalence numérique près de CH(N), que l'on note CH(N)*.

Nous montrons dans cette thèse que les correspondances de Hecke agissent sur CH(N) et que cette action est autoadjointe par rapport à la forme bilinéaire de Bost-Kühn. Ceci permet de diagonaliser cette action sur CH(N)* et de définir ses sous-espaces propres. Ensuite nous étudions le faisceau dualisant relatif, considéré comme un élément de CH(N)*, ainsi que sa décomposition selon les sous-espaces propres. Nous calculons l'auto-intersection de la composante propre correspondante à la pointe à l'infini en utilisant des résultats d'Ulf Kühn.

L'action des opérateurs de Hecke sur les fibres spéciales de XN définit une dynamique qui preserve les points supersinguliers. Nous nous intéressons à étudier cette action sur les points supersinguliers des fibres de bonne réduction et nous calculons, à l'aide des résultats de Deuring et Eichler, la fréquence asymptotique avec laquelle un point supersingulier donné visite un autre point du même type.
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Thèse
Mathématiques [math]. Université Paris Sud - Paris XI, 2008. Français
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Contributeur : Ricardo Menares <>
Soumis le : mardi 10 février 2009 - 15:15:03
Dernière modification le : mardi 10 février 2009 - 15:45:14
Document(s) archivé(s) le : vendredi 12 octobre 2012 - 11:25:30

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Ricardo Menares. Nombres d'intersection arithmétiques et opérateurs de Hecke sur les courbes modulaires. Mathématiques [math]. Université Paris Sud - Paris XI, 2008. Français. <tel-00360171>

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