Self-transformations and geometry of Calabi-Yau varieties
Auto-transformations et géométrie des variétés de Calabi-Yau
Résumé
This thesis is made of two parts.
In the first one, I prove that if certain universal Severi varieties are irreducible (these parametrize nodal curves of given degree and geometric genus lying on a K3 surface), then a generic projective K3 surface does not carry any rational endomorphism with degree >1. I also establish numerous numerical constraints satisfied by such endomorphisms.
Voisin modified the Kobayashi pseudo-volume form by introducing the holomorphic K-correspondences. In the second part, I study a logarithmic version of this pseudo-volume form. To each pair (X,D), where X is a complex manifold and D is a normal crossing divisor with reduced positive part, I associate an intrinsic logarithmic pseudo-volume form. I prove that it is generically non degenerate when X is projective and K_X+D is ample. I also prove that it vanishes for a large class of pairs with trivial logarithmic canonical bundle.
In the first one, I prove that if certain universal Severi varieties are irreducible (these parametrize nodal curves of given degree and geometric genus lying on a K3 surface), then a generic projective K3 surface does not carry any rational endomorphism with degree >1. I also establish numerous numerical constraints satisfied by such endomorphisms.
Voisin modified the Kobayashi pseudo-volume form by introducing the holomorphic K-correspondences. In the second part, I study a logarithmic version of this pseudo-volume form. To each pair (X,D), where X is a complex manifold and D is a normal crossing divisor with reduced positive part, I associate an intrinsic logarithmic pseudo-volume form. I prove that it is generically non degenerate when X is projective and K_X+D is ample. I also prove that it vanishes for a large class of pairs with trivial logarithmic canonical bundle.
Cette thèse est constituée de deux parties.
Dans la première, je démontre que si certaines variétés de Severi universelles, qui paramètrent les courbes nodales de degré et de genre fixés existant sur une surface K3, sont irréductibles, alors une surface K3 projective générique ne possède pas d'endomorphisme rationnel de degré >1. J'établis également un certain nombre de contraintes numériques satisfaites par ces endomorphismes.
Voisin a modifié la pseudo-forme volume de Kobayashi en introduisant les K-correspondances holomorphes. Dans la seconde partie, j'étudie une version logarithmique de cette pseudo-forme volume. J'associe une pseudo-forme volume logarithmique intrinsèque à toute paire (X,D) constituée d'une variété complexe et d'un diviseur à croisements normaux et partie positive réduite. Je démontre qu'elle est génériquement non dégénérée si X est projective et K_X+D est ample. Je démontre d'autre part qu'elle s'annule pour une grande classe de paires à fibré canonique logarithmique trivial.
Dans la première, je démontre que si certaines variétés de Severi universelles, qui paramètrent les courbes nodales de degré et de genre fixés existant sur une surface K3, sont irréductibles, alors une surface K3 projective générique ne possède pas d'endomorphisme rationnel de degré >1. J'établis également un certain nombre de contraintes numériques satisfaites par ces endomorphismes.
Voisin a modifié la pseudo-forme volume de Kobayashi en introduisant les K-correspondances holomorphes. Dans la seconde partie, j'étudie une version logarithmique de cette pseudo-forme volume. J'associe une pseudo-forme volume logarithmique intrinsèque à toute paire (X,D) constituée d'une variété complexe et d'un diviseur à croisements normaux et partie positive réduite. Je démontre qu'elle est génériquement non dégénérée si X est projective et K_X+D est ample. Je démontre d'autre part qu'elle s'annule pour une grande classe de paires à fibré canonique logarithmique trivial.