Complex fluids in thin films
Fluides complexes en films minces
Résumé
This thesis is devoted to the modelling, the mathematical analysis and the numerical simulation of various complex flows in thin film situations. In fact, Newtonian models are not always sufficient to describe the physical flows in a realistic way. Many phenomena may be taken into account, such as:
* the complexity of the fluids themselves, as for non Newtonian fluids;
* the heterogeneity of the flow, for example in the case of mixtures.
It is of importance to analyse how these models can be simplified in thin domains, and to study rigorously the approximate models.
In the first part, we study non Newtonian viscoelastic flows represented by a behavior law of Oldroyd type coupled with the Navier-Stokes equations. We justify the validity of this approximation; the proof is based on elaborate estimates and regularity results.
In the second part, we consider a piezoviscous model used in hydrodynamical lubrication. This model also involves the elastohydrodynamical deformation of the domain (Hertz-type deformation) and the diphasic aspect of cavitation through the Elrod-Adams model (pressure-saturation model). We prove the existence of a solution to this problem for realistic pressure-viscosity laws.
In the third part, we introduce a diffuse-interface diphasic model which allows to model complex phenomena such as drops. To this end, we use an order parameter (volumic fraction of one phase in the mixture) governed by the Cahn-Hilliard model. An approximate system is obtained in a heuristical way for a thin domain. We study the mathematical properties of this system, and we prove an existence result with or without surface tension.
In the last part, a numerical scheme is introduced in order to simulate the previous model for diphasic flows in thin domains. It allows to take into account several physical features, such as great variations of the viscosity or recirculations in drops, as well as to simulate mixtures in the lubricated flows setting.
* the complexity of the fluids themselves, as for non Newtonian fluids;
* the heterogeneity of the flow, for example in the case of mixtures.
It is of importance to analyse how these models can be simplified in thin domains, and to study rigorously the approximate models.
In the first part, we study non Newtonian viscoelastic flows represented by a behavior law of Oldroyd type coupled with the Navier-Stokes equations. We justify the validity of this approximation; the proof is based on elaborate estimates and regularity results.
In the second part, we consider a piezoviscous model used in hydrodynamical lubrication. This model also involves the elastohydrodynamical deformation of the domain (Hertz-type deformation) and the diphasic aspect of cavitation through the Elrod-Adams model (pressure-saturation model). We prove the existence of a solution to this problem for realistic pressure-viscosity laws.
In the third part, we introduce a diffuse-interface diphasic model which allows to model complex phenomena such as drops. To this end, we use an order parameter (volumic fraction of one phase in the mixture) governed by the Cahn-Hilliard model. An approximate system is obtained in a heuristical way for a thin domain. We study the mathematical properties of this system, and we prove an existence result with or without surface tension.
In the last part, a numerical scheme is introduced in order to simulate the previous model for diphasic flows in thin domains. It allows to take into account several physical features, such as great variations of the viscosity or recirculations in drops, as well as to simulate mixtures in the lubricated flows setting.
Cette thèse est consacrée à la modélisation, à l'analyse mathématique et à la simulation numérique d'écoulements de divers fluides complexes dans des domaines de faible épaisseur. En effet, les modèles de fluides newtoniens ne sont pas toujours suffisants pour décrire de manière réaliste les écoulements considérés. Plusieurs phénomènes peuvent être pris en compte :
* le caractère complexe des fluides eux-mêmes, comme pour des fluides non-newtoniens ;
* l'hétérogénéité de l'écoulement, dans le cas de mélanges de fluides par exemple.
Il est important d'analyser comment ces modèles peuvent être simplifiés dans le cas de domaines minces, et d'étudier rigoureusement les modèles approchés.
Dans une première partie, des écoulements de fluides non newtoniens visco-élastiques représentés par une loi de comportement de type Oldroyd-B couplée aux équations de Navier-Stokes sont étudiés. Dans le cas de géométries minces, un modèle approché a été proposé. On justifie la validité de cette approximation ; la démonstration repose sur des estimations et des résultats de régularité fins.
Dans une deuxième partie, on considère un modèle d'écoulement piezovisqueux utilisé en lubrification hydrodynamique. Ce modèle fait aussi intervenir la déformation élastohydrodynamique du domaine (déformation du type Hertz), et l'aspect diphasique de la cavitation, qui est décrit par le modèle d'Elrod-Adams (en pression-saturation). On montre l'existence d'une solution à ce problème pour des lois pression-viscosité réalistes.
Dans une troisième partie, on introduit un modèle diphasique à interface diffuse, permettant de rendre compte de phénomènes plus fins tels que les gouttes. Pour cela, un paramètre d'ordre est introduit (fraction volumique d'une phase dans le mélange), gouverné par le modèle de Cahn-Hilliard. Un système approché est obtenu de manière heuristique pour un domaine de faible épaisseur. On étudie les propriétés mathématiques de ce système, et on montre un résultat d'existence, avec prise en compte ou non de la tension de surface.
Dans la dernière partie, un schéma numérique est mis en place pour simuler le modèle décrit précédemment d'écoulements diphasiques en domaines minces. Il permet de prendre en compte différents phénomènes physiques, comme de grandes variations de la viscosité ou la présence de recirculations à l'intérieur d'une goutte, ainsi que de simuler des mélanges dans le cadre d'écoulements lubrifiés.
* le caractère complexe des fluides eux-mêmes, comme pour des fluides non-newtoniens ;
* l'hétérogénéité de l'écoulement, dans le cas de mélanges de fluides par exemple.
Il est important d'analyser comment ces modèles peuvent être simplifiés dans le cas de domaines minces, et d'étudier rigoureusement les modèles approchés.
Dans une première partie, des écoulements de fluides non newtoniens visco-élastiques représentés par une loi de comportement de type Oldroyd-B couplée aux équations de Navier-Stokes sont étudiés. Dans le cas de géométries minces, un modèle approché a été proposé. On justifie la validité de cette approximation ; la démonstration repose sur des estimations et des résultats de régularité fins.
Dans une deuxième partie, on considère un modèle d'écoulement piezovisqueux utilisé en lubrification hydrodynamique. Ce modèle fait aussi intervenir la déformation élastohydrodynamique du domaine (déformation du type Hertz), et l'aspect diphasique de la cavitation, qui est décrit par le modèle d'Elrod-Adams (en pression-saturation). On montre l'existence d'une solution à ce problème pour des lois pression-viscosité réalistes.
Dans une troisième partie, on introduit un modèle diphasique à interface diffuse, permettant de rendre compte de phénomènes plus fins tels que les gouttes. Pour cela, un paramètre d'ordre est introduit (fraction volumique d'une phase dans le mélange), gouverné par le modèle de Cahn-Hilliard. Un système approché est obtenu de manière heuristique pour un domaine de faible épaisseur. On étudie les propriétés mathématiques de ce système, et on montre un résultat d'existence, avec prise en compte ou non de la tension de surface.
Dans la dernière partie, un schéma numérique est mis en place pour simuler le modèle décrit précédemment d'écoulements diphasiques en domaines minces. Il permet de prendre en compte différents phénomènes physiques, comme de grandes variations de la viscosité ou la présence de recirculations à l'intérieur d'une goutte, ainsi que de simuler des mélanges dans le cadre d'écoulements lubrifiés.
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