Minplus Modelling and Control of Traffic in Regular Cities.
Modélisation Minplus et Commande du Trafic de Villes Régulières.
Résumé
The purpose is to model and to control urban traffic. I consider microscopic models of traffic and I derive relations between macroscopic quantities. More precisely, the objective is to derive the fundamental diagram of 2D – traffic, which gives the relationship between the density and the flow of vehicles. This diagram is used, for example, to determine the best density of vehicles that maximizes the flow. This information can be used also to control the 2D – traffic. The mathematical models are based on the deterministic or on the stochastic optimal control.
The first part of my thesis is concerned about 1D – traffic. It consists on generalizing a deterministic traffic model based on the minplus algebra, which gives the fundamental diagram of traffic on a road. The generalization covers a very large class of basic diagrams.
In the second part, I study the additive 1-homogeneous dynamical systems. Indeed, all the dynamical systems given in this work are additive 1-homogeneous. I am interested by the existence and the uniqueness of growth rates and additive eigenvalues of these systems. I start from the general case where zero, one or many growth rates and eigenvalues can exist, and where chaotic behaviour can appear. I recall the existing results in the case where we assume, in addition, that the dynamical system is monotone, and the case where it is also convex. At the end of this part, I characterize a new class of additive 1-homogeneous dynamical systems which are not necessarily monotone, but whose asymptotic behaviour can be described.
The third part consists on generalizing a 1D – traffic model based on the Petri nets and on the minplus algebra, in order to model junctions, and then derive fundamental diagrams of the 2D – traffic. A junction can be managed in different ways, and can be considered with or without possibility of turning. Several models taking into account these assumptions are given in this part.
The model which is well explored is the model of two circular roads with a junction managed by the “priority to the right” and with possibility of turning. In this case, and under some assumptions, the additive eigenvalue problem associated to the dynamical system can be solved. The growth rate of the dynamical system, which corresponds to the average flow of the vehicles, is obtained numerically. Comparing the eigenvalue obtained theoretically with the average flow given numerically, I concluded that the two quantities, which are given in function of the density of vehicles, are very closed, and equal at many values of the density. Thus, the eigenvalue represents a good approximation of the fundamental diagram of the 2D – traffic.
Other approaches to manage junctions consist to control them using signal traffic lights. An evaluation of control approaches of a junction can be based onto the fundamental diagrams of each approach. A comparison of the different approaches of managing junctions is given.
In the fourth part I developed a Scilab code which makes easy the computer building of large-scale traffic networks. It consists on defining basic systems and operators in the set of these systems, and then combining basic systems to get large-scale ones.
The last part is devoted to the bimodal traffic, where two modes of traffic are considered: traffic of cars and traffic of buses. The idea is to determine a traffic light plan that promotes the buses traffic over than the cars one.
The first part of my thesis is concerned about 1D – traffic. It consists on generalizing a deterministic traffic model based on the minplus algebra, which gives the fundamental diagram of traffic on a road. The generalization covers a very large class of basic diagrams.
In the second part, I study the additive 1-homogeneous dynamical systems. Indeed, all the dynamical systems given in this work are additive 1-homogeneous. I am interested by the existence and the uniqueness of growth rates and additive eigenvalues of these systems. I start from the general case where zero, one or many growth rates and eigenvalues can exist, and where chaotic behaviour can appear. I recall the existing results in the case where we assume, in addition, that the dynamical system is monotone, and the case where it is also convex. At the end of this part, I characterize a new class of additive 1-homogeneous dynamical systems which are not necessarily monotone, but whose asymptotic behaviour can be described.
The third part consists on generalizing a 1D – traffic model based on the Petri nets and on the minplus algebra, in order to model junctions, and then derive fundamental diagrams of the 2D – traffic. A junction can be managed in different ways, and can be considered with or without possibility of turning. Several models taking into account these assumptions are given in this part.
The model which is well explored is the model of two circular roads with a junction managed by the “priority to the right” and with possibility of turning. In this case, and under some assumptions, the additive eigenvalue problem associated to the dynamical system can be solved. The growth rate of the dynamical system, which corresponds to the average flow of the vehicles, is obtained numerically. Comparing the eigenvalue obtained theoretically with the average flow given numerically, I concluded that the two quantities, which are given in function of the density of vehicles, are very closed, and equal at many values of the density. Thus, the eigenvalue represents a good approximation of the fundamental diagram of the 2D – traffic.
Other approaches to manage junctions consist to control them using signal traffic lights. An evaluation of control approaches of a junction can be based onto the fundamental diagrams of each approach. A comparison of the different approaches of managing junctions is given.
In the fourth part I developed a Scilab code which makes easy the computer building of large-scale traffic networks. It consists on defining basic systems and operators in the set of these systems, and then combining basic systems to get large-scale ones.
The last part is devoted to the bimodal traffic, where two modes of traffic are considered: traffic of cars and traffic of buses. The idea is to determine a traffic light plan that promotes the buses traffic over than the cars one.
L'objectif de cette thèse est la modélisation et la commande du trafic. Je considère des modèles microscopiques du trafic pour dériver des relations entre des variables macroscopiques du trafic. Plus précisément, il s'agit de dériver le diagramme fondamental du trafic 2D, qui donne la relation entre la densité et le flot des véhicules. Ce diagramme est utilisé, par exemple, pour déterminer la densité des véhicules qui maximise le flot. Cette information peut aussi être utilisée pour la commande du trafic 2D. Les modèles mathématiques sont basés sur la commande optimale déterministe ou stochastique.
La première partie de la thèse est sur le trafic 1D. Il s'agit de généraliser un modèle déterministe de trafic basé sur l'algèbre minplus, qui donne le diagramme fondamental du trafic sur une route. La généralisation permet de réaliser une large classe de diagrammes fondamentaux.
Dans la deuxième partie, j'étudie les systèmes dynamiques additivement homogènes de degré 1. En effet, tous les systèmes dynamiques donnés dans ce travail sont additivement homogènes de degré 1. Je m'intéresse dans cette partie à l'existence et à l'unicité de taux de croissance et de valeurs propres additives associées à ces systèmes. Je parts du cas général où zéro, un ou plus de taux de croissance et de valeurs propres peuvent exister, et où des comportement chaotiques peuvent apparaître. Je rappelle les résultats existants dans le cas où on suppose que le systèmes dynamique est, en plus, monotone, et dans le cas ou il est aussi convexe. A la fin de cette partie, je caractérise une classe de systèmes dynamiques additivement homogène de degré 1, non nécessairement monotone, mais dont le comportement asymptotique peut être décrit.
La troisième partie consiste à généraliser un modèle de trafic 1D basé sur les réseaux de Petri et l'algèbre minplus, dans le but de modéliser des intersections, et puis dériver le diagramme fondamental du trafic 2D. Une intersection peut être gérée de plusieurs façons, et peut être considérée avec ou sans possibilité de tourner (pour les véhicules). Plusieurs modèles tenant en compte ses hypothèses sont donnés dans cette partie.
Le modèle le plus exploré ici est celui de deux routes circulaires avec une intersection gérée par la priorité à droite, et avec possibilité de tourner. Dans ce cas, et sous certaines conditions, le problème de valeur propre additive associé au système dynamique peut être résolu. Le taux de croissance du système dynamique, qui correspond au flot moyen des véhicules est obtenu numériquement. En comparant la valeur propre obtenue théoriquement et le flot moyen donné numériquement, j'ai conclus que les deux quantités, qui sont données en fonction de la densité des véhicules, sont très proches, et sont égales en plusieurs valeurs de la densité. Ainsi, la valeur propre représente une bonne approximation du diagramme fondamental du trafic 2D.
D'autres approches de gestion d'intersections consiste à les commander moyennant des feux de signalisation. Une évaluation de la commande de l'intersection peut se baser sur le diagramme fondamental obtenue pour chacune des approches considérées. Une comparaison des différentes approches est donnée.
Dans la quatrième partie j'ai développé un code en Scilab qui facilite la construction informatique de grands réseaux de trafic routier. Il s'agit de définir des systèmes élémentaires et des opérateurs sur l'ensemble de ces systèmes, et puis de combiner des systèmes basique pour construire de grands systèmes.
La dernière partie est sur la commande du trafic à deux modes: trafic des véhicules particulier, et trafic des véhicules de transport en commun. L'idée est de déterminer un plan de feux de signalisation qui favorise le trafic des véhicules de transport en commun.
La première partie de la thèse est sur le trafic 1D. Il s'agit de généraliser un modèle déterministe de trafic basé sur l'algèbre minplus, qui donne le diagramme fondamental du trafic sur une route. La généralisation permet de réaliser une large classe de diagrammes fondamentaux.
Dans la deuxième partie, j'étudie les systèmes dynamiques additivement homogènes de degré 1. En effet, tous les systèmes dynamiques donnés dans ce travail sont additivement homogènes de degré 1. Je m'intéresse dans cette partie à l'existence et à l'unicité de taux de croissance et de valeurs propres additives associées à ces systèmes. Je parts du cas général où zéro, un ou plus de taux de croissance et de valeurs propres peuvent exister, et où des comportement chaotiques peuvent apparaître. Je rappelle les résultats existants dans le cas où on suppose que le systèmes dynamique est, en plus, monotone, et dans le cas ou il est aussi convexe. A la fin de cette partie, je caractérise une classe de systèmes dynamiques additivement homogène de degré 1, non nécessairement monotone, mais dont le comportement asymptotique peut être décrit.
La troisième partie consiste à généraliser un modèle de trafic 1D basé sur les réseaux de Petri et l'algèbre minplus, dans le but de modéliser des intersections, et puis dériver le diagramme fondamental du trafic 2D. Une intersection peut être gérée de plusieurs façons, et peut être considérée avec ou sans possibilité de tourner (pour les véhicules). Plusieurs modèles tenant en compte ses hypothèses sont donnés dans cette partie.
Le modèle le plus exploré ici est celui de deux routes circulaires avec une intersection gérée par la priorité à droite, et avec possibilité de tourner. Dans ce cas, et sous certaines conditions, le problème de valeur propre additive associé au système dynamique peut être résolu. Le taux de croissance du système dynamique, qui correspond au flot moyen des véhicules est obtenu numériquement. En comparant la valeur propre obtenue théoriquement et le flot moyen donné numériquement, j'ai conclus que les deux quantités, qui sont données en fonction de la densité des véhicules, sont très proches, et sont égales en plusieurs valeurs de la densité. Ainsi, la valeur propre représente une bonne approximation du diagramme fondamental du trafic 2D.
D'autres approches de gestion d'intersections consiste à les commander moyennant des feux de signalisation. Une évaluation de la commande de l'intersection peut se baser sur le diagramme fondamental obtenue pour chacune des approches considérées. Une comparaison des différentes approches est donnée.
Dans la quatrième partie j'ai développé un code en Scilab qui facilite la construction informatique de grands réseaux de trafic routier. Il s'agit de définir des systèmes élémentaires et des opérateurs sur l'ensemble de ces systèmes, et puis de combiner des systèmes basique pour construire de grands systèmes.
La dernière partie est sur la commande du trafic à deux modes: trafic des véhicules particulier, et trafic des véhicules de transport en commun. L'idée est de déterminer un plan de feux de signalisation qui favorise le trafic des véhicules de transport en commun.
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