Matrices aléatoires, processus entrelacés, et représentations de groupes

Résumé : Nous démontrons une version d'un théorème d'Heckman permettant de préciser le lien qui unit la théorie des représentations des groupes compacts à celle des matrices aléatoires à valeurs dans l'algèbre de Lie du groupe compact connexe K et dont la loi est K-invariante.
Les groupes de Lie classiques, qu'on note K(n), sont les ensembles de matrices unitaires de taille n*n à entrées dans le corps des réels, des complexes ou des quaternions. Pour chacun d'eux, nous étudions plus précisément deux types d'ensembles invariants. Le premier est l'ensemble k(n) - algèbre de Lie de K(n) - muni de la mesure gaussienne. Les règles de branchement classiques nous permettent de calculer la loi des mineurs principaux des matrices de ces ensembles. Le deuxième est une généralisation de l'ensemble unitaire de Laguerre (LUE). Au sein de la théorie des représentations, celle des cristaux de Kashiwara nous permet d'étudier cet ensemble.
Pickrell a montré que dans le cas complexe la limite d'une famille consistante de mesures K(n)-invariantes sur k(n) est ergodique si et seulement si elle est la loi d'une combinaison linéaire de matrices indépendantes de type Gaussien ou Laguerre. Nous montrons que son résultat reste vrai pour les autres groupes de Lie classiques.
La généralisation du LUE que nous proposons est obtenue en considérant des sommes de matrices aléatoires de rang un. L'étude de ces perturbations et des mineurs principaux fait apparaître des processus entrelacés. Nous montrons qu'une large classe d'entre eux sont déterminantaux et donnons leur noyau de corrélation.
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Thèse
Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2008. Français
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Contributeur : Manon Defosseux <>
Soumis le : mercredi 17 décembre 2008 - 12:59:39
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Document(s) archivé(s) le : mardi 8 juin 2010 - 17:33:55

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Manon Defosseux. Matrices aléatoires, processus entrelacés, et représentations de groupes. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2008. Français. <tel-00347988>

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