Critical points of pairs of varieties of algebras
Points critiques de couples de variétés d'algèbres
Résumé
The set of all congruences of a given algebra, ordered by inclusion, is an algebraic lattice (Birkhoff), its compact elements are the finitely generated congruences; they form a semilattice. A semilattice is liftable in a variety V if it is isomorphic to the semilattice of all compact congruences of an algebra in V. The works of Wehrung on CLP, and of Ploščica, illustrate that even for an easy to describe variety of algebras, like the variety of all lattices, or the finitely generated varieties, characterizing the liftable semilattices is hard. The critical point of two varieties V and W is the smallest cardinal of a semilattice liftable in V but not in W.
We introduce a tool, with categorical flavor, that gives a link between lifting diagrams of semilattices and lifting semilattices in a given variety. Given finitely generated varieties of lattices V and W such that W does not lift all semilattices liftable in V, we prove that the critical point of V and W is either finite or some aleph of finite index. We give two finitely generated varieties of modular lattices with critical point aleph 1, which disproves a conjecture of Tůma and Wehrung.
Using the theory of Von Neumann regular rings together with the dimension monoid of a lattice, we prove that the critical point of varieties of lattices generated by subspace lattice of vector spaces of the same finite dimension on finite fields is at least aleph 2. We prove the equality for dimensions 2 and 3.
We introduce a tool, with categorical flavor, that gives a link between lifting diagrams of semilattices and lifting semilattices in a given variety. Given finitely generated varieties of lattices V and W such that W does not lift all semilattices liftable in V, we prove that the critical point of V and W is either finite or some aleph of finite index. We give two finitely generated varieties of modular lattices with critical point aleph 1, which disproves a conjecture of Tůma and Wehrung.
Using the theory of Von Neumann regular rings together with the dimension monoid of a lattice, we prove that the critical point of varieties of lattices generated by subspace lattice of vector spaces of the same finite dimension on finite fields is at least aleph 2. We prove the equality for dimensions 2 and 3.
L'ensemble de toutes les congruences d'une algèbre, ordonné par inclusion, est un treillis algébrique (Birkhoff), ses éléments compacts sont les congruences finiment engendrées ; elles forment un demi-treillis. Un demi-treillis est relevable dans une variété V s'il est isomorphe au demi-treillis des congruences compactes d'une algébre de V. Les travaux de Wehrung sur CLP, ainsi que ceux de Ploščica, illustrent que même pour une variété d'algèbres facile à décrire, comme la variété de tous les treillis, ou une variété finiment engendrée, la caractérisation des demi-treillis relevables est difficile. Le point critique entre deux variétés V et W est le plus petit cardinal d'un demi-treillis relevable dans V mais pas dans W.
Nous introduisons un outil, de nature catégorique, donnant des liens entre les relèvements de diagrammes de demi-treillis et les relèvements de demi-treillis dans une variété donnée. Nous montrons que si V et W sont des variétés finiment engendrées de treillis telles que W ne relève pas tous les demi-treillis relevés par V, alors le point critique entre V et W est soit fini, soit un aleph d'indice fini. Nous trouvons deux variétés finiment engendrées de treillis modulaires dont le point critique est aleph un, ce qui infirme une conjecture posée par Tůma et Wehrung.
Nous prouvons, en utilisant la théorie des anneaux réguliers de von Neumann et la théorie du monoïde de dimension d'un treillis, que le point critique entre des variétés engendrées par des treillis de sous-espaces vectoriels d'espaces vectoriels de même dimension finie sur des corps finis est au moins aleph 2. Nous prouvons l'égalité pour les dimensions 2 et 3.
Nous introduisons un outil, de nature catégorique, donnant des liens entre les relèvements de diagrammes de demi-treillis et les relèvements de demi-treillis dans une variété donnée. Nous montrons que si V et W sont des variétés finiment engendrées de treillis telles que W ne relève pas tous les demi-treillis relevés par V, alors le point critique entre V et W est soit fini, soit un aleph d'indice fini. Nous trouvons deux variétés finiment engendrées de treillis modulaires dont le point critique est aleph un, ce qui infirme une conjecture posée par Tůma et Wehrung.
Nous prouvons, en utilisant la théorie des anneaux réguliers de von Neumann et la théorie du monoïde de dimension d'un treillis, que le point critique entre des variétés engendrées par des treillis de sous-espaces vectoriels d'espaces vectoriels de même dimension finie sur des corps finis est au moins aleph 2. Nous prouvons l'égalité pour les dimensions 2 et 3.
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