Aspects algorithmiques et combinatoires des réaliseurs des graphes plans maximaux - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2002

Algorithmic and combinatorial aspects of maximal plane graphs realizers

Aspects algorithmiques et combinatoires des réaliseurs des graphes plans maximaux

Résumé

The realizers, or Schnyder trees, have introduced by Walter Schnyder in the late 80's to give a characterization of planar graphs and to draw them on $(n-2)\times(n-2)$ grids.
In this document, we first give an extension of Wagner's theorem to realizers. Using this theorem we establish a relationship between the number of leaves and the number of 3-colored faces of a realizer.
A bijection between realizers and pairs of non-crossing Dyck path give us an enumeration of realizers. An algorithm generating $p$ non-crossing Dyck paths, is also proposed. It allows us to generate randomly realizers in linear time.
Then, we show that thanks to realizers, we can draw plane graphs with polylines on grids of optimal width and area.
Finally, we propose a generalization of minimal realizers to connected planar graphs: well-orderly spanning trees. Using this generalization and with a particular triangulation algorithm, we present a new $5.007n$ bit planar graph encoding.
Les réaliseurs, ou arbres de Schnyder, ont été introduits par Walter Schnyder à la fin des années 80 pour caractériser les graphes planaires, puis pour dessiner ces mêmes graphes sur des grilles $(n-2)\times(n-2)$.
Dans ce document nous proposons dans un premier temps une extension du théorème de Wagner aux réaliseurs, qui nous permet d'établir une relation entre le nombre de feuilles et le nombre de faces tricolores d'un réaliseur.
Ensuite, à l'aide d'une bijection entre les réaliseurs et les paires de chemins de Dyck qui ne se coupent pas, nous énumérons les réaliseurs. Un algorithme de génération aléatoire de $p$ chemins de Dyck ne se coupant pas, est également présenté. Il permet en outre de générer aléatoirement des réaliseurs en temps linéaire.
Puis nous montrons que grâce aux réaliseurs, il est possible de dessiner, à l'aide de lignes brisées des graphes planaires sur des grilles de largeur et de surface optimales.
Enfin, nous proposons une généralisation des réaliseurs minimaux aux graphes planaires connexes : les arbres recouvrants bien-ordonnés. Grâce à cette généralisation ainsi qu'à une méthode de triangulation adaptée nous proposons un algorithme de codage des graphes planaires à $n$ sommets en $5,007n$ bits.
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Dates et versions

tel-00338407 , version 1 (13-11-2008)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00338407 , version 1

Citer

Nicolas Bonichon. Aspects algorithmiques et combinatoires des réaliseurs des graphes plans maximaux. Informatique [cs]. Université Sciences et Technologies - Bordeaux I, 2002. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00338407⟩

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