Bounds for the Castelnuovo-Mumford regularity
Bornes pour la régularité de Castelnuovo-Mumford
Résumé
Bayer and Stillman proved that the complexity of an ideal (or a module) is the same as the one of its generic initial ideal. This connection motivated the search for bounds on the Castelnuovo-Mumford regularity in terms of the degrees of the generators of an ideal in order to control the complexity of Gröbner bases computations. The work of Gruson-Peskine, Bertram-Ein-Lazarsfeld,Chardin, Caviglia-Sbarra has shown that there are sharp bounds for some modules and ideals classes. First we improved bounds for ideals of small dimension and we constructed examples showing that our bounds are sharp. Second we improved and extended the methods and the bounds to finite generated modules. Using Bertini's theorem and hyperplan sections we established bound for the Castelnuovo-Mumford of homogeneous ideals in terms of degree of minimal generators and the dimension of the singular locus of the scheme.
Bayer et Stillman ont montré que si R est un anneau de polynômes sur un corps k et I un idéal homogène de R, alors la régularité de I est égal au maximum des degrés des générateurs de son idéal initial générique pour l'ordre lexicographique inverse. Ce résultat a motivé la recherche de bornes pour la régularité de Castelnuovo-Mumford en termes des degrés des générateurs d'un idéal ou d'un module gradué. Les travaux de Gruson-Peskine, Bertram-Ein-Lazarsfeld, Chardin-Ulrich, Caviglia-Sbarra, entre autres, ont prouvé qu'il existe des bornes assez fines pour certaines classes d'idéaux ou de modules, bien inférieures aux bornes générales. Dans un premier temps nous améliorons les bornes dans le cas des idéaux en petites dimensions et, en s'inspirant des exemples de Chardin-d'Cruz, nous construisons des exemples d'idéaux dont la régularité est proche de nos estimations. Dans un deuxième temps nous avons étendu aux modules et raffiné les méthodes et les bornes connues pour les idéaux. En utilisant la méthode des sections hyperplanes et un théorème de Bertini, nous établissons une borne pour la régularité d'un idéal homogène en fonction du degré de ses générateurs minimaux et de la dimension du lieu singulier du schéma qu'il défini.
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