Functional inequalities: probabilities and PDE
Inégalités fonctionnelles: probabilités et EDP
Résumé
Ce document présente une synthèse des travaux de recherche effectués après la thèse, soutenue à l'université Toulouse III en décembre 2001.
Une large partie de ces recherches est consacrée aux inégalités fonctionnelles, dont les inégalités de Poincaré ou de Sobolev logarithmique sont deux représentantes emblématiques. De façon générale, les inégalités fonctionnelles sont à la frontière de l'analyse et des probabilités et sont utilisées dans de nombreux problèmes mathématiques. On pourra citer par exemple l'étude de la convergence à l'équilibre d'équations différentielles ou de chaîne de Markov, l'étude des ensembles convexes en grande dimension, l'étude de la concentration de mesures produits ou corrélées, l'étude de la convergence de systèmes de particules, ou l'étude de l'existence d'une unique mesure de Gibbs en mécanique statistique. La résolution de chacun de ces problèmes repose sur l'établissement d'une inégalité fonctionnelle adaptée au modèle.
Dans ce mémoire, nous traitons ces problèmes de deux façons. D'une part, nous nous intéressons directement aux inégalités fonctionnelles, en cherchant à établir des hiérarchies entre elles, à trouver des critères simples permettant d'établir leur existence. D'autre part, à partir de problèmes de convergence à l'équilibre d'équations d'évolutions, nous élaborons et utilisons des inégalités fonctionnelles appropriées permettant d'obtenir des taux de convergence à l'équilibre.
Ce document est divisé en 5 chapitres. Les 4 premiers chapitres traitent des inégalités fonctionnelles et leurs implications pour des équations d'évolutions linéaires, non-linéaires, locales ou non-locales.
Le dernier chapitre traite quant à lui un tout autre problème. Nous essayons de montrer la convergence à l'équilibre d'un algorithmique génétique utilisé pour des problèmes de filtrage non-linéaire.
Une large partie de ces recherches est consacrée aux inégalités fonctionnelles, dont les inégalités de Poincaré ou de Sobolev logarithmique sont deux représentantes emblématiques. De façon générale, les inégalités fonctionnelles sont à la frontière de l'analyse et des probabilités et sont utilisées dans de nombreux problèmes mathématiques. On pourra citer par exemple l'étude de la convergence à l'équilibre d'équations différentielles ou de chaîne de Markov, l'étude des ensembles convexes en grande dimension, l'étude de la concentration de mesures produits ou corrélées, l'étude de la convergence de systèmes de particules, ou l'étude de l'existence d'une unique mesure de Gibbs en mécanique statistique. La résolution de chacun de ces problèmes repose sur l'établissement d'une inégalité fonctionnelle adaptée au modèle.
Dans ce mémoire, nous traitons ces problèmes de deux façons. D'une part, nous nous intéressons directement aux inégalités fonctionnelles, en cherchant à établir des hiérarchies entre elles, à trouver des critères simples permettant d'établir leur existence. D'autre part, à partir de problèmes de convergence à l'équilibre d'équations d'évolutions, nous élaborons et utilisons des inégalités fonctionnelles appropriées permettant d'obtenir des taux de convergence à l'équilibre.
Ce document est divisé en 5 chapitres. Les 4 premiers chapitres traitent des inégalités fonctionnelles et leurs implications pour des équations d'évolutions linéaires, non-linéaires, locales ou non-locales.
Le dernier chapitre traite quant à lui un tout autre problème. Nous essayons de montrer la convergence à l'équilibre d'un algorithmique génétique utilisé pour des problèmes de filtrage non-linéaire.
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