Sur l'implosion parabolique, la taille des disques de Siegel et une conjecture de Marmi, Moussa et Yoccoz
Résumé
Tout le contenu de ce mémoire est un travail en commun de l'auteur et de Xavier Buff.
Pour theta nombre de Brjuno, soit r(theta) le rayon conforme du disque de Siegel de P_theta(z)=exp(i.2.pi.theta)z+z^2 et Phi(theta) la variante due à Yoccoz de la somme de Brjuno. Soit Upsilon(theta) = log r(theta) + Phi(theta).
Nous avons démontré précédemment que Upsilon possède un prolongement continu à R, et donné une formule explicite pour sa valeur aux rationnels.
La conjecture de Marmi-Moussa-Yoccoz, toujours ouverte, est que la fonction Upsilon est 1/2-Höldérienne.
Nous démontrons ici que l'exposant ne peut être amélioré : quel que soit l'intervalle I non vide, Upsilon n'est delta-Höldérienne sur I pour aucun delta>1/2. Sa variation sur I est également non bornée.
La preuve est basée sur un développement asymptotique en tout p/q de Upsilon(x_n) pour certaines suites de rationnels x_n tendant vers p/q.
L'étude d'un point parabolique et de ses perturbations se fait parfois par l'introduction d'un champ de vecteurs auquel la dynamique est comparée.
Nous introduisons un champ de vecteurs particulier qui permet d'une part de donner des estimations suffisamment fines pour effectuer le développement asymptotique de Upsilon(x_n) ; d'autre part de proposer une normalisation intéressante des coordonnées de Fatou d'un point parabolique, dont nous donnons quelques propriétés de base.
J'ai apporté un soin particulier à la rédaction de l'implosion parabolique, qu'il a fallu raffiner légèrement et adapter à notre champs de vecteurs.
Pour theta nombre de Brjuno, soit r(theta) le rayon conforme du disque de Siegel de P_theta(z)=exp(i.2.pi.theta)z+z^2 et Phi(theta) la variante due à Yoccoz de la somme de Brjuno. Soit Upsilon(theta) = log r(theta) + Phi(theta).
Nous avons démontré précédemment que Upsilon possède un prolongement continu à R, et donné une formule explicite pour sa valeur aux rationnels.
La conjecture de Marmi-Moussa-Yoccoz, toujours ouverte, est que la fonction Upsilon est 1/2-Höldérienne.
Nous démontrons ici que l'exposant ne peut être amélioré : quel que soit l'intervalle I non vide, Upsilon n'est delta-Höldérienne sur I pour aucun delta>1/2. Sa variation sur I est également non bornée.
La preuve est basée sur un développement asymptotique en tout p/q de Upsilon(x_n) pour certaines suites de rationnels x_n tendant vers p/q.
L'étude d'un point parabolique et de ses perturbations se fait parfois par l'introduction d'un champ de vecteurs auquel la dynamique est comparée.
Nous introduisons un champ de vecteurs particulier qui permet d'une part de donner des estimations suffisamment fines pour effectuer le développement asymptotique de Upsilon(x_n) ; d'autre part de proposer une normalisation intéressante des coordonnées de Fatou d'un point parabolique, dont nous donnons quelques propriétés de base.
J'ai apporté un soin particulier à la rédaction de l'implosion parabolique, qu'il a fallu raffiner légèrement et adapter à notre champs de vecteurs.
Domaines
Mathématiques [math]
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