L. Ainsi and . Noyau, (r) gl), est contenu dans le noyau du morphisme H * P,) (S p(r) gl) ? H * P,) (S p?1(r) gl ? gl (r) ). Ce dernier est de rang p r d'après le corollaire 6.2.12

L. Ainsi and . Noyau-du-morphisme-h-*-p, S p(r) gl) ? H * P,) (? p(r) gl) est exactement égal à l'image du morphisme H * P,) (I (r+1) gl) ? H * P,) (S p(r) gl)

P. La-diérence-entre-le-rang-de-h-k, ? p(r) gl) et de H k P,) (S p(r) gl) est donnée par la formule : rg H k P,) (? p(r) gl) ? rg H k P,)

A. Soit, On note Mod G (A) la catégorie dont les objets sont les A-modules munis d'une action G-linéaire et dont les morphismes sont les applications linéaires G-équivariantes. Si AG désigne l'anneau de groupe de G sur A, la catégorie Mod G (A) s'identie à la catégorie Mod

M. Soit and G. Mod, A) un G-module sur un anneau commutatif A. On appelle invariants de M sous G le sous-module M G de M déni par

M. Si, on dénit une action de G sur Hom A (M, N ) par la formule (g.f )(m) := g.f (g ?1 .m). On a alors

. Démonstration, . Pour-tout-m-?-m-h, and A. Hom, application A-linéaire f m dénie sur la base G/H de AG/H par la formule f m (gH) := g.m est G-équivariante par construction

. Démonstration, Si G n'est pas un sous-groupe de A d , alors d'après la proposition B.2

B. Corollaire, de caractéristique q impaire et d ? q un entier Le foncteur f : Mod S d (A) Mod(A) qui envoie le S d -module M sur le quotient de (M alt ) S d par l'image de la norme (M alt ) S d ? (M alt ) S d vérie les propriétés suivantes : (1) Si V est un A-module projectif de type ni alors f (V ?d ) = 0

. Démonstration, Le deuxième point découle de la proposition B.2.6 : le A-module (AS d /(c) alt ) S d est libre de rang 1 et la norme envoie le générateur Id de

D. Cohomologie-rationnelle-de-gl-n, 1 Schémas en groupes anes et cohomologie rationnelle Dans cette partie, nous rappelons la dénition et quelques propriétés des schémas en groupes anes et de la cohomologie rationnelle

G. Soit, On appelle algèbre des coordonnées de G la A-algèbre commutative de type ni A[G] qui représente G. Le fait que G soit un foncteur vers les groupes et non pas simplement vers les ensembles induit sur l'algèbre A[G] une structure d'algèbre de Hopf commutative

D. Remarque, L'expression schéma en groupes ane algébrique est une expression composée de la manière suivante Un schéma ane sur A est foncteur représentable de la catégorie des A-algèbres commutatives (non nécessairement de type ni) dans la catégorie des ensembles. Le terme en groupes signie que le foncteur est à valeurs dans la catégorie des groupes, terme algébrique indique que le schéma est représenté par une algèbre de type ni

D. Dénition, 1.5. Un schéma en groupe ane algébrique est réduit s'il est représenté par une algèbre réduite

. Réciproquement, soit G un schéma en groupes ane algébrique et réduit sur K. Alors

D. Dénition, schéma en groupes ane algébrique sur A. Une représentation M de G est un A-module M muni d'un transformation naturelle de foncteurs G ? GL(M ) Un morphisme de représentations de G est une application A-linéaire f : M ? M ? telle que pour toute A-algèbre

G. Si and . Est-un-schéma-en, On note ? M l'application A-linéaire

D. Exemple, 1.9. Soient K un corps algébriquement clos, r un entier positif et G K un sous-groupe algébrique de matrices de M r (K)

K. Une-action-du-groupe-algébrique-g-k-sur-un, espace vectoriel M est une action du groupe G K sur M telle que pour tout m ? M il existe un polynôme P m (x i,j ) 1?i,j?r sur M r (K)

D. Dénition, 1.10. Soient A un anneau commutatif, G un schéma en groupes ane algébrique sur A et M un G-module. Les points xes rationnels de M sous l'action de G

D. Dénition, 1.11. Un schéma en groupes ane algébrique est plat si son algèbre des coordonnées est un A-module plat

M. Soient, N. , V. , G. , and N. , Supposons que V est un A-module projectif de type ni. On a un isomorphisme

D. Théorème, A ? une A-algèbre de type ni et G un groupe algébrique sur A. Pour tout G-module M libre de rang ni et tout i ? 0 on a une suite exacte courte de A ? -modules, A ? ) ? 0

A. Soit, Dans ce paragraphe, nous nous restreignons au cas du schéma en groupes GL n /A. Le A-module libre A n est muni d'une

. Dans-la-suite, nous donnons quelques énoncés sur la cohomologie rationnelle de GL n /A à coecients cet anneau

. Démonstration, Le résultat est vrai pour A = Z d'après [24, II

C. Sur, 225] une décomposition du produit tensoriel de deux modules de Schur en une somme directe de modules de Schur : S ? (V ) ? S µ (V ) = ?partition c(?, µ, ?)S ? (V )

. La-règle-de-littlewood-richardson, Cette situation n'est plus valable sur un anneau quelconque. Par exemple, sur C on a, ) (V ) ? S (1,1) (V ) = ? 2 (V ) ? S 2 (V ), p.456

D. Théorème, [6] Soit A un anneau commutatif et ?, µ deux partitions Il existe une ltration du produit tensoriel S ? ?S µ des foncteurs de Schur S ? et S µ dont le gradué est isomorphe à la somme directe : Gr (S ? ? S µ ) = ? partition c(?, µ, ?)S ?

D. Corollaire, On a : (i) H * rat

L. Soit and A. Un-a-module-libre-de-rang-ni, Notons A[V ?r ? V ? ?q ] l'algèbre des polynômes sur V ?r ? V ? ?q à coecients dans A. Le groupe GL(V ) agit sur A[V ?r ? V ? ?q ] par automorphismes d'algèbres de la manière usuelle : si P est un polynôme alors g.P est donné par : (g.P )(x 1

B. Z-est-un-z-module, libre gradué par le degré des polynômes, et chaque B i Z est un Z module libre de type ni. D'après le théorème des facteurs invariants on peut trouver une base (a j ) j=1..n de A i Z et des entiers

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