Rational cohomology of the general linear group and bifunctors extensions
Cohomologie rationnelle du groupe linéaire et extensions de bifoncteurs
Résumé
This thesis aims at obtaining information about the rational cohomology of the general linear group. To tackle this problem, we transpose it in the category of polynomial bifunctors. Indeed, computations are easier in this framework.
We first recall the structure of the category of polynomial bifunctors over an arbitrary commutative ring. We show that bifunctor cohomology computes the rational cohomology of the general linear group (this result was previously know over a field only). Then, we develop techniques to compute bifunctor cohomology. We introduce new effective tools to study Frobenius twists in characteristic p. Finally, we apply these methods to explicit families of bifunctors. In this way, we obtain new results (such as Poincaré series) for rational cohomology with values in classical representations, such as symmetric and divided powers of the twisted Lie algebra of the general linear group.
We first recall the structure of the category of polynomial bifunctors over an arbitrary commutative ring. We show that bifunctor cohomology computes the rational cohomology of the general linear group (this result was previously know over a field only). Then, we develop techniques to compute bifunctor cohomology. We introduce new effective tools to study Frobenius twists in characteristic p. Finally, we apply these methods to explicit families of bifunctors. In this way, we obtain new results (such as Poincaré series) for rational cohomology with values in classical representations, such as symmetric and divided powers of the twisted Lie algebra of the general linear group.
Le but de cette thèse est d'obtenir des résultats sur la cohomologie rationnelle du groupe linéaire. Nous attaquons ce problème en le transposant dans la catégorie des bifoncteurs polynomiaux, dans laquelle les calculs sont plus aisés.
Nous rappelons dans un premier temps la structure de la catégorie des bifoncteurs polynomiaux sur un anneau commutatif quelconque. Nous démontrons que la cohomologie des bifoncteurs calcule la cohomologie rationnelle du groupe linéaire sur un anneau quelconque (ce résultat n'était auparavant connu que sur un corps). Puis nous développons des techniques générales pour le calcul de la cohomologie des bifoncteurs. Nous introduisons notamment de nouveaux outils efficaces pour étudier la torsion de Frobenius en caractéristique p. Enfin, nous appliquons ces méthodes à des familles explicites de bifoncteurs. Nous obtenons ainsi de nouveaux résultats (par exemple des séries de Poincaré) sur la cohomologie rationnelle à valeur dans des représentations classiques, telles que les puissances symétriques et divisées des twists de l'algèbre de Lie du groupe linéaire.
Nous rappelons dans un premier temps la structure de la catégorie des bifoncteurs polynomiaux sur un anneau commutatif quelconque. Nous démontrons que la cohomologie des bifoncteurs calcule la cohomologie rationnelle du groupe linéaire sur un anneau quelconque (ce résultat n'était auparavant connu que sur un corps). Puis nous développons des techniques générales pour le calcul de la cohomologie des bifoncteurs. Nous introduisons notamment de nouveaux outils efficaces pour étudier la torsion de Frobenius en caractéristique p. Enfin, nous appliquons ces méthodes à des familles explicites de bifoncteurs. Nous obtenons ainsi de nouveaux résultats (par exemple des séries de Poincaré) sur la cohomologie rationnelle à valeur dans des représentations classiques, telles que les puissances symétriques et divisées des twists de l'algèbre de Lie du groupe linéaire.
Domaines
Mathématiques [math]
Loading...