Analysis and Noncommutative Dynamical Models on q-Minkowski Space Algebra

Analyse et modèles dynamiques non commutatifs sur l'espace de q-Minkowski

Antoine Dutriaux (1)

1 LAMAV - Laboratoire de Mathématiques et leurs Applications de Valenciennes - EA 4015

The present thesis deals with the large field of noncommutative geometry. This field is extensively studied because of mathematicians and physicists' common opinion that noncommutative geometry methods are useful tools to describe dynamical processes at Planck length. So the main purpose of this thesis is to provide a generalization of some dynamical models defined on Minkowski space on its q-analog. Since the creation of the Quantum Group theory by Drinfeld, numerous attempts have been made to introduce dynamical models which are covariant under quantum groups. Most interesting are models built on the q-Minkowski space algebra. P. Kulish showed that this algebra is a particular case of the so-called modified Reflection Equation Algebra which is linked to an operator called Hecke symmetry. So we are defining here dynamical models which are deformations of their classical counterparts. Then we are looking for integrals of dynamics, which leads us to define analogs of energy and the Runge-Lenz vector. At the end of this work, we will generalize the partial differential equations of field theory and particularly Maxwell's operator.

Cette thèse se place dans le cadre du vaste domaine s'intitulant géométrie non commutative, domaine dont l'étude est motivée par l'opinion courante des mathématiciens et physiciens selon laquelle les méthodes de la géométrie non commutative peuvent être utiles pour décrire certains processus dynamiques à l'échelle de Planck. Aussi l'objectif principal de cette thèse est de généraliser quelques modèles dynamiques définis sur l'espace de Minkowski sur son q-analogue. Des tentatives d'introduire des modèles dynamiques qui seraient covariants par rapport à l'action de groupes quantiques ont été entrepris juste après la création de la théorie sur les groupes quantiques par Drinfeld. Les modèles les plus intéressants sont ceux qui sont liés au q-analogue de l'espace de Minkowski. C'est P. Kulish qui définit cette algèbre comme étant un cas particulier d'une algèbre appelée modified Reflection Equation Algebra (mREA) elle-même liée à un opérateur appelé symétrie de Hecke. Nous définissons donc certains modèles dynamiques qui sont des déformations de modèles classiques, l'espace des phases de nos modèles déformés n'est autre alors que notre espace de q-Minkowski. Nous recherchons par la suite des intégrales de mouvement de ces dynamiques, ce qui nous amène à définir des analogues de l'énergie et du vecteur de Runge-Lenz. Nous généralisons pour terminer les équations aux dérivées partielles de la théorie des champs et en particulier l'opérateur de Maxwell.

Mots clés: hecke symmetry; q-Minkowski space algebra; Cayley-Hamilton identity; integrals of dynamics; braided vector fields; Laplace operator; Maxwell operator

Mots clés: symétrie de Hecke; (modified) Reflection Equation Algebra; espace de q-Minkowski; identité de Cayley-Hamilton; intégrales de mouvement; champs de vecteurs tressés; opérateur de Laplace; opérateur de Maxwell

Domaines: Mathématiques [math]

Antoine Dutriaux. Analyse et modèles dynamiques non commutatifs sur l'espace de q-Minkowski. Mathématiques [math]. Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambresis, 2008. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00289899⟩