Semi-classical estimate of the quantum current in the presence of a strong variable magnetic field
Estimation semi-classique du courant quantique en présence d'un grand champ magnétique variable
Résumé
The Pauli operator describes the energy of an electron submitted to a magnetic field and to an external electric potential. The presence of the magnetic field induces a natural quantity, the current. Formally, the current can be considered as the derivative of the energy with respect to the magnetic potential. In this thesis, we establish an asymptotic formula of the current in the presence of a strong variable magnetic field. In the calulations we use a commutator identity that leads us to estimate the sum of eigenvalues of a modified Pauli operator. The technique of the proof relies on the construction of coherent states (in order to approach the eigenfunctions) and Lieb-Thirring inequalities in order to control the error terms.
L'opérateur de Pauli décrit l'énergie d'un électron soumis à un champ magnétique et à un potentiel électrique externe. La présence d'un champ magnétique induit naturellement l'existence d'une quantité: le courant. D'une manière formelle, cette quantité peut être considérer comme étant la dérivée de l'énergie par rapport au potentiel magnétique. Dans cette thèse, nous établissons une asymptotique du courant en présence d'un champ magnétique variable de grande intensité. Dans ce calcul nous utilisons une identité de commutateur qui nous conduits à l'estimation de la somme des valeurs propres négatives d'un opérateur de Pauli modifié. La technique utilisée s'appuie sur la construction des états cohérents (pour approcher les fonctions propres) et des inégalités de Lieb-Thirring pour contrôler les termes d'erreurs.
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