Integrable systems arising in differential geometry and mathematical physics
Systèmes intégrables intervenant en géométrie différentielle et en physique mathématique
Résumé
Our thesis is divided into 2 independant chapters each other corresponding to a paper. In the first chapter, we define a notion of isotropic surfaces in O, i.e. on which some canonical symplectic forms vanish. Using the cross-product in O we define a map rho from the Grassmannian of plan of O to the 6 dimension sphere. This allows us to associate to each surface Sigma of O a function rho_Sigma. Then we show that the isotropic surfaces in O such that this function is harmonic are solutions of a completely integrable system. Using loop groups we construct a Weierstrass type representation of these surfaces.By restriction to the quaternions we obtain as a particular case the Hamiltonian Stationary Lagrangian surfaces of R^4, and by restriction to Im(H) we obtain the CMC surfaces of R^3. In the second chapter, we study supersymmetric harmonic maps from the point of view of integrable systems. It is well known that harmonic maps from R^2 into a symmetric space are solutions of a integrable system. We show here that the superharmonic maps from R^{2|2} into a symmetric space are solutions of a integrable system, more precisely of a first elliptic integrable system in the sense of C.L.Terng and that we have a Weierstrass-type representation in terms of holomorphic potentials (as well as of meromorphic potentials). We show also that superprimitive maps from R^{2|2} into a 4-symmetric space give us, by restriction to R^2, solutions of the second elliptic system associated to the previous 4-symmetric space. This allows us to obtain a kind of conceptual supersymmetric interpretation for any second elliptic system associated to a 4-symmetric space, in particular for the integrable system built in the first chapter (and more particular for Hamiltonian stationary Lagrangian surfaces in Hermitian symmetric spaces).
Notre thèse est divisée en 2 chapitres indépendants correspondant chacun à un article. Dans le premier chapitre, nous définissons une notion de surfaces isotropes dans les octonions, i.e. sur lesquelles certaines formes symplectiques canoniques s'annulent. En utilisant le produit vectoriel dans O, nous définissons une application rho de la grassmanienne des plans de O dans la sphère de dimension 6. Cela nous permet d'associer à chaque surface Sigma de O une fonction rho_Sigma de la surface sur la sphère. Alors, nous montrons que les surfaces isotropes de O telles que cette fonction est harmonique sont solutions d'un système complètement intégrable. En utilisant les groupes de lacets, nous construisons une représentation de type Weierstrass de ces surfaces. Par restriction au corps des quaternions, nous retrouvons comme cas particulier les surfaces lagrangiennes hamiltoniennes stationnaires de R^4. Par restriction à Im(H), nous retrouvons les surfaces CMC de R^3. Dans le second chapitre, nous étudions les applications supersymétriques harmoniques définies sur R^{2|2} et à valeurs dans un espace symétrique, du point de vue des systèmes intégrables. Il est bien connu que les applications harmoniques de R^2 à valeurs dans un espace symétrique sont solutions d'un système intégrable. Nous montrons que les applications superharmoniques de R^{2|2} dans un espace symétrique sont solutions d'un système intégrable, et que l'on a une représentation de type Weierstrass en termes de potentiels holomorphes (ainsi qu'en termes de potentiels méromorphes). Nous montrons également que les applications supersymétriques primitives de R^{2|2} dans un espace 4-symétrique donnent lieu, par restriction à R^2, à des solutions du système elliptique du second ordre associé à l'espace 4-symétrique considéré (au sens de C.L. Terng).Ceci nous permet d'obtenir, de manière conceptuelle, une sorte d'interprétation supersymétrique de tous les systèmes elliptiques du second ordre associés à un espace 4-symétrique, en particulier du système intégrable construit au chapitre 1 (et plus particulièrement des surfaces lagrangiennes hamiltoniennes stationnaires dans un espace symétrique).
Mots clés
isotropic surfaces
harmonic maps
completely integrable system
loop groups
Weierstrass type representation
supersymmetric maps
components fields
supersymmetric lagrangian
integrable systems
weierstrass type representation of harmonic maps
second elliptic system associated to a 4-symmetric space.
système elliptique du second ordre associé à un espace 4-symétrique
Systèmes complètement intégrables
géométrie diférentielle
surfaces isotropes
surfaces lagrangiennes
Octonions
applications harmoniques
groupes de lacets
supersymétries
superspace R^{2|2}
composantes de champs
lagrangian supersymétrique
Applications supersymétriques
representation de Weierstrass
système elliptique du second ordre associé à un espace 4-symétrique.
Domaines
Mathématiques [math]
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