Instability of Schrödinger equations
Instabilité des équations de Schrödinger
Résumé
In this work we study different instability phenomena for nonlinear Schrödinger equations.\\[3pt]
In the first part we show a phase decoherence mechanism for the semiclassical Gross-Pitaevski equation in dimension 3. This geometrical phenomenon occurs because the harmonical potential allows the construction of stationnary solutions to the equation which concentrate on circles of R^{3}.
In the second part, we obtain a geometric instability result for the cubic NLS on a riemannian surface. We assume that this surface admits a stable and nondegenerate periodic geodesic. Then with a WKB method we construct nonlinear quasimodes and we obtain approximate solutions to the equation for times such that instability occurs. Thus we generalize results of Burq-Gérard-Tzvetkov for the sphere.
In the last part, we consider supercritical Schrödinger equations on a riemannian manifold of dimension $d$. Thanks to nonlinear geometric optics in an analytic frame, we show a mechanism of loss of derivatives in Sobolev spaces, and an instabilty in the energy space.
In the first part we show a phase decoherence mechanism for the semiclassical Gross-Pitaevski equation in dimension 3. This geometrical phenomenon occurs because the harmonical potential allows the construction of stationnary solutions to the equation which concentrate on circles of R^{3}.
In the second part, we obtain a geometric instability result for the cubic NLS on a riemannian surface. We assume that this surface admits a stable and nondegenerate periodic geodesic. Then with a WKB method we construct nonlinear quasimodes and we obtain approximate solutions to the equation for times such that instability occurs. Thus we generalize results of Burq-Gérard-Tzvetkov for the sphere.
In the last part, we consider supercritical Schrödinger equations on a riemannian manifold of dimension $d$. Thanks to nonlinear geometric optics in an analytic frame, we show a mechanism of loss of derivatives in Sobolev spaces, and an instabilty in the energy space.
Dans cette thèse on s'est intéressé à différents phénomènes d'instabilités pour des équations de Schrödinger non-linéaires.
Dans la première partie on met en évidence un mécanisme de décohérence de phase pour l'équation (semi-classique) de Gross-Pitaevski en dimension 3. Ce phénomène géométrique est dû à la présence du potentiel harmonique, qui permet de construire -via une méthode de minimisation- des solutions stationnaires se concentrant sur des cercles de R^{3}.
Dans la deuxième partie, on obtient un résultat d'instabilité géométrique pour NLS cubique posée sur une surface riemannienne possédant une géodésique périodique, stable et non-dégénérée. Avec une méthode WKB, on construit des quasimodes non-linéaires, qui permettent d'obtenir des solutions approchées pour des temps pour lesquels l'instabilité se produit. On généralise ainsi des travaux de Burq-Gérard-Tzvetkov pour la sphère.
Enfin, dans la dernière partie on considère des équations sur-critiques sur une variété de dimension d. Grâce à une optique géométrique non-linéaire dans un cadre analytique on peut montrer un mécanisme de perte de dérivées dans les espaces de Sobolev, et une instabilité dans l'espace d'énergie.
Dans la première partie on met en évidence un mécanisme de décohérence de phase pour l'équation (semi-classique) de Gross-Pitaevski en dimension 3. Ce phénomène géométrique est dû à la présence du potentiel harmonique, qui permet de construire -via une méthode de minimisation- des solutions stationnaires se concentrant sur des cercles de R^{3}.
Dans la deuxième partie, on obtient un résultat d'instabilité géométrique pour NLS cubique posée sur une surface riemannienne possédant une géodésique périodique, stable et non-dégénérée. Avec une méthode WKB, on construit des quasimodes non-linéaires, qui permettent d'obtenir des solutions approchées pour des temps pour lesquels l'instabilité se produit. On généralise ainsi des travaux de Burq-Gérard-Tzvetkov pour la sphère.
Enfin, dans la dernière partie on considère des équations sur-critiques sur une variété de dimension d. Grâce à une optique géométrique non-linéaire dans un cadre analytique on peut montrer un mécanisme de perte de dérivées dans les espaces de Sobolev, et une instabilité dans l'espace d'énergie.