, 1 Action de groupe sur les espaces compacts 104 6.1.1 Mesures invariantes, Hölder-continuité des exposants de Lyapounov Sommaire 6
, 113 6.2.1 Estimations générales, 114 6.2.2 Estimations de la norme des matrices de transfert, p.115
, un des premiers résultats deprobì eme inverse pour des opérateursopérateursà potentiel matriciel. Depuis, ces questions deprobì eme inverse pour des opérateursopérateursà valeurs matricielles ontétéétudiéesontétéontétéétudiées très précisément par Sur le même sujet on peut se référer aussì a [GKM02] etàetà [GT00] pour des précisions sur la notion de potentiels sans réflexion et sur les théorèmes de Borg associés. Enfin, tous ces travaux utilisent des techniques expliquées dans l'article très détaillé de F. Gesztesy et E. Tsekanovskii, [GT00], sur les fonctions de HerglotzàHerglotzà valeurs matricielles. L'importance de ces résultats se retrouve encore si l'on regarde ce qui a ´ eté fait pour prouver la positivité de l'exposant de Lyapounov associéassociéà un opérateur d'Anderson- Bernoulli dans [DSS02b]. Les techniques employées dans cet article reposent en partie sur un théorème de Borg dans le cas scalaire que l'on peut trouver initialement dans, cas des matrices de Jacobi ces mêmes questions ontétéétudiéesontétéontétéétudiées dans [CGR05]
, en complément des solutions F ±régulì eres en ±?, nous allons introduire des solutionsàsolutionsà H * (?)u = Eu avec conditions initialesàinitialesà l'origine, les mêmes que Remarque 7.3.17. Unedernì ere remarque pour rappeler que tout au long de cette partie 7.3 nous avons travaillé dans le cadre d'opérateurs R-ergodiques en faisant l'abus de notatioñ H * (? ?) = H * (?) Mais comme précisépréciséà la remarque 7.2.8, l'usage de la procédure de suspension par Kirsch dans [Kir85] justifie cet abus de notation dans la mesure o` u il montre que la Densité, Etats Intégrée associéè a ? H * (? ?) estégalèestégalè a celle associéè a H * (?) et que les exposants de Lyapounov associésassociés? associés?H * (?) sontégauxàsontégauxsontégauxà ceux associésassociésà H * (?). Ainsi la formule de Thouless que l'on vient de démontrer reste valable pour les opérateurs Z-ergodiques H * (?)
, Etats Intégrée Nous allons commencer par voir comment prouver que la Densité d' ´ Etats Intégrée a la même régularité que les sommes d'exposants de Lyapounov, On vient de montrer une formule de Thouless (théorème 7.3.16) qui fait le lien entre ces deux quantités en exprimant les exposants de Lyapounov en fonction de la Densité d' ´ Etats Intégrée
, inverser " cette relation intégrale pour exprimer la Densité d' ´ Etats Intégrée en fonction de la somme des exposants de Lyapounov. Pour réaliser une telle inversion nous allons utiliser la transformée de Hilbert. Nous allons donc consacrer la prochaine sectionàsectionà présenter cet outil
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