Quantum invariants of 3-manifolds and 4-manifolds, TQFTs and HQFTs
Invariants quantiques en dimension 3 et 4, TQFTs et HQFTs
Résumé
This thesis is devoted to the study of some quantum invariants of 3-manifolds and 4-manifolds as well as their associated TQFTs and HQFTs. We establish that for all spherical category $\C$, the Turaev-Viro TQFT comes from a 1+2 dimensional HQFT which has the classifying space $B\grad$ as target space. Using the methods developed here, we give a new description of the homological Turaev-Viro invariant. Furthermore, we introduce the notion of a Picard categories which we use to link the Dijkgraff-Witten invariant to the Turaev-Viro invariant. Lastly, we construct a 4-dimensional quantum invariant and compare it to the quantum invariant defined by Crane, Kauffman and Yetter. This invariant is obtained from pairs of premodular categories which have invertible dimensions.
Cette thèse est consacrée à l'étude des invariants quantiques en dimension 3 et 4 ainsi que les TQFTs et HQFTs qui leurs sont associées. Cette thèse établit que pour toute catégorie $\C$ sphérique la TQFT de Turaev-Viro est issue d'une HQFT en dimension 1+2 ayant pour but l'espace classifiant $B\grad$. Grâce aux méthodes développées pour montrer ce résultat, nous avons donné une nouvelle description l'invariant de Turaev-Viro homologique. En outre, nous introduisons la notion de catégorie de Picard qui nous permet de relier l'invariant de Turaev-Viro à l'invariant de Dijkgraaf-Witten. Nous construisons également un invariant quantique de dimension 4 que nous comparons à l'invariant quantique de dimension 4 défini par Crane, Kauffman et Yetter. Ce nouvel invariant est obtenu à partir de couples de catégories prémodulaires de dimensions inversibles.