Q. Remarquons-que-la-fonction and . ?1-n, est pas l'inverse mathématique de la fonction Q. Cependant , nous avons pour toutes les dates d'´ emission possibles t pour l'arête e la propriété suivante, )) = t et Q(e, Q ?1 (e, t + ?e)) = t + ?(e)

. Dans-ce-chapitre,-nousétudionsnousétudions-lesprobì-emes-de-routage-dans-les-graphesévolutifsgraphes´graphesévolutifs, Un probì eme de routage consistè a trouver un trajet d'un point de départ donné vers une destination donnée En général, le trajet recherché doit minimiser certaines fonctions objectives (coût, délai ...). L'´ etude desprobì emes de routage dans un cadre dynamique a commencé il y a environ quarante ans pour les réseaux de transports (voir par exemple On peutégalement peutégalement trouver des travaux récents sur les réseaux dynamiques, o` u les temps de traversée des arcs dépendent de la charge [32, 57, 59]. Lorsque les temps de traversée des arcs sont discrets, la méthode des graphes espace-temps de Ford et Fulkerson [34] peutêtrepeutêtre utilisée demanì ere efficace dans certains cas (voir Cependant, cette méthode n'est pas applicable dans le cas o` u les temps de traversée sont des nombres réels

. Ce-chapitre-est-organisé-de-lamanì-ere-suivante, Lapremì ere section est consacrée aux définitions de distance dans les graphesévolutifsgraphesévolutifs Ensuite nous présenterons et analyserons le calcul d'un trajet au plus tôt premì ere date d'arrivée possible), puis le calcul d'un trajet le plus petit (plus petit nombre d'arcs), et pour terminer le calcul d'un trajet le plus rapide. Enfin, nous montrerons que lorsqu'il y a une fonction de coût arbitraire sur les arcs

G. On-peut-voir-qu-'un-flot-dynamique-dans-g-muni-des-fonctions-?-et-?-será-equivalentàequivalentà-un-flot-dans-le-graphe and . Exp-muni-de-la-capacité-?-exp, Tous lesprobì emes concernant les flots dynamiques peuvent doncêtredoncêtre ramenés par ce biaisàbiaisà desprobì emes statiques classiques. Cependant, la taille de G exp n'est pas polynomiale dans la taille des données car G exp contient |T| copies du réseau

G. Soit, G. Graphé-evolutif-dont-le-graphe-sous-jacent-est, and E. , Soit ? : E ? R + une fonction de capacité sur G. Nous supposons en outre que G dispose d'une capacité de stockage illimitée sur ses sommets Nous allons construire un graphe espace-temps G exp = (V exp , E exp ) muni d'une capacité ? expéquivalentàexpéquivalentexpéquivalentà G muni de la capacité ?. L'ensemble des sommets V exp estégaìestégaì a (V × T). L'ensemble des arcs E exp estégalestégal l'union ? de l'ensemble des couples ((x, t 1 ), (x, t 2 )) tels que x in V et t 1 < t 2 , qui représente le stockage sur les noeuds de V , ? et de l'ensemble des couples ((x, t 1 ), (y, t 2 )) tels que l'arc (x, y) est présent

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A. Annexe, 1 Notations Standard sur les graphes Nous rappelons ici des notations standard de théorie des graphes que nous utilisons dans cette thèse

G. Un-graphe, E. Est-en-fait-une-paire-(-v, V. Composée-de-deux-ensembles, E. Lorsque, G. et al., L'ensemble V s'appelle l'ensemble des sommets du graphe Lorsque le graphe représente un réseau de télécommunication, V représente l'ensemble des noeuds du réseau Au cours de cette thèse nous n'utilisons que des graphes o` u l'ensemble de sommets est fini. Le nombre de sommets du graphe est souvent notée n = |V | ou N = |V |. Ce nombre est parfois appelé ordre de G. L'ensemble E s'appelle l'ensemble des arêtes du graphe, ou bien l'ensemble des arcs du graphe. Une arête est une paire de sommets (x, y) appartenantàappartenantà V . Un arc est un couple de sommets (x, y) appartenantàappartenantà V . Ce qui distingue un arc d'une arête est le fait qu'un arc est orienté, c'estàestà dire que (x, y) = (y, x), alors qu'une arête n'est pas orientée : (x, y) = (y, x). Lorsque E est un ensemble d'arêtes, on dit que le graphe G est non orienté

S. +?, la longueur du plus court chemin reliant x ` a y. S'il n'existe pas de chemin reliant x ` a y, on a D(x, y) = +?. Pour tout sommet x ? V , et pour tout ensemble de sommets S inclus dans V , on appelle distance de x ` a S, notée D(x, S), le minimum des distances de D(x, y) sur les sommets y de S : D(x, S), Définition 35 (distance) Pour toute paire de sommets x