, effectuer un double parcours d'un arbre de contraintes en appliquant DAC permettait d'obtenir l'arc-cohérence du CSP. Or, chaque parcours effectué par HC4Revise est équivalent à un parcours de DAC, des feuilles de l'arbre (les variables de c) vers la racine
, puisqu'elle n'a pas de support dans D y . Or, appliquer HC4Revise ne permet pas de réduire cette borne. En effet, la projection de w 2 = 1 sur w, où w est le noeud x × y, produira (après enveloppe) l'intervalle [?1, 1] qui inclut le " mauvais
, avec D x = [0, 1], D y = [?1, 1], D w = R (c1) x × y = w, (c2) w 2 = 1, on prouve alors (en adaptant la preuve de la proposition 6.6) que HC4Revise appliqué sur la contrainte c calcule la 2B-cohérence de P (la boîte obtenue est [0, 1] × [?1, 1], et celle-ci est bien la restriction de de P ) Ce résultat se généralise : Proposition 6
, Si on note ? l'opérateur composant les m × n pseudo-projections possibles calculées avec HC4Revise , alors le point fixe de l'itération D (k+1) ? ? (D (k) ) est la restriction de la clôture par 2B
, Notons x (resp.y i ), Définition, vol.624, issue.1 0
, même si aucune union n'apparaît à ce point du programme, le point fixe n'est pas atteint Si la projection d'une contrainte marquée comme non convexe réduit le domaine d'une variable, la boîte B doit subir un nouveau tour de boucle, qu'il y ait eu un trou ou non : elle n'est pas considérée comme une feuille
, Montrons qu'en utilisant HC4Revise dans lazy-box?set, les boîtes contenues dans L sont arc? cohérentes. Tout d'abord, elles sont un point fixe pour HC4Revise
, est apparu lors des dernières projections sur les variables (y compris implicites) de c avec B, cela signifie qu'aucune enveloppe n'a été effectuée
, une des dernières projections de c, elle a donc été marquée comme potentiellement non convexe La ligne 11 a donc été exécutée pour c, puisque dans le cas d'une feuille (une boîte de L) toutes les contraintes de S sont passées en revue. Or, la projection à la ligne 11 est effectuée cette fois via HC4Revise et cette projection n'a provoqué aucune réduction puisqu'une réduction aurait empêché
, {c 1 , c 2 }, {x, y, w}, x × y × R) avec (c 1 ) x ? y = w, pp.2-4
, 1: Comparaison des filtrages en l'absence d'occurrence multiple de variables
, le résultat obtenu par lazy-box-set et HC4Revise est la clôture par box?set cohérence du renommage du CSP, où une variable implicite est substituée pour chaque nouvelle occurrence d'une même variable 3
, une précaution doit être prise avec des occurrences multiples : la contrainte courante doit être réintroduite dans l'agenda de propagation après un calcul de projection (cf
, lazy-box?set fournit le même résultat que s'il était appliqué directement sur le renommage du problème
, Néanmoins, nous avons pris dans cet exemple ? de telle sorte que |?| ? 2 n . Or, puisque la complexité en espace est aussi bornée par |?|, on pourrait espérer trouver un algorithme calculant la clôture ??AC?IGC qui soit également borné, en temps, par un polynôme en |?|. En utilisant un découpage assez " grossier " , on éviterait ainsi l'explosion combinatoire qui se produit dans le cas où 2 n ?, nous disposerions d'un algorithme qui vérifierait deux critères d'efficacité : ? Théorique : avoir une complexité en temps et en espace polynomiale en |?|
, Le preuve repose sur une relation entre le problème 3?SAT [GJ79] et le problème suivant : P 1 : Langage : soit P un CSP-boîte et ? une subdivision
, une instance de 3-SAT ; B est l'ensemble des variables booléennes et C est l'ensemble des clauses. On note P = (C , X , B) le CSP-boîte issu de la transformation polynomiale
, on crée une variable x b ? X avec pour domaine [?3, 3]. On choisit la subdivision ? égale à {?3, 3}. On crée également une contrainte x 2 b = 5 dans C (de telle sorte que seulement deux intervalles soient possibles pour x b dans la clôture AC de P : [?3, ?2] et, 2002.
, Il suffit en effet d'effectuer toutes les projections x 2 b = 5. Une fois l'union [?3, ?2] ? [2, 3] associée à chaque variable, le gruyère est arccohérent . Vérifier alors qu'un ensemble de n intervalles donnés forment une I?clique se fait en O(n) La réponse à la question de P 1 se teste en temps polynomial
, nous sommes confrontés à deux choix possibles : ? Soit calculer ??AC comme nous l'avons fait au chapitre précédent, avoir une complexité polynomiale (en O(|?|)), mais en pratique avoir à gérer un nombre d'intervalles de l'ordre de |?|
, Mais il serait de bon aloi de s'assurer qu'il n'existe pas un filtrage intermédiaire entre ??AC et ??AC?IGC qui cumulerait l'avantage des deux critères. Ce filtrage pourrait par exemple consister à maintenir la présence de I-cliques, mais uniquement pour des sous-graphes de contraintes de taille k. Plutôt que de résoudre un problème NP-difficile pour effectuer un filtrage, on resterait alors sur le plan théorique dans un cadre polynomial
, Des contre-exemples ont pu être isolés, lorsqu'on applique un filtrage au niveau " intervalles
, isoler les sous-boîtes arc-cohérentes d'un CSP Appliquer la box-set cohérence nécessite l'introduction de points de choix au cours du filtrage, mais l'aspect combinatoire de ce calcul est compensé par la possibilité de l'intégrer dans une recherche de solutions sans en impacter les performances (les découpages naturels s'ajoutent aux bissections) Dans ce contexte, l'obtention de la box-set cohérence représente en effet un faible coût grâce au filtrage par 2B-cohérence qui permet de minimiser le nombre d'appels à la seule opération véritablement coûteuse, c'est à dire
, permet d'approcher l'arccohérence d'un CSP sans faire de point de choix. L'idée principale est de maintenir l'existence de cliques dans le graphe représentant les compatibilités entre les différents intervalles des unions servant à représenter les domaines. Nous avons donné un algorithme, Etiq-AC, qui utilise une structure de données sophistiquée pour pouvoir en pratique appliquer cette cohérence. A ce jour, un premier prototype d'Etiq?AC a été implanté, avec des algorithmes naïfs (notamment pour la fonction APPLY) Elle a permis de vérifier ce qui est avancé dans ce chapitre : le filtrage AC?IGC s'obtient en pratique avec très peu d'intervalles, notamment là où l'arc?cohérence échoue. Les cas pathologiques semblent très artificiels. Notons que nous avons limité notre étude aux contraintes primitives, mais notre programme s'applique à un CSP quelconque (toutefois sans fonction trigonométrique) en prenant en
, une analyse expérimentale approfondie reste à mener pour comparer la box-set cohérence, AC-IGC et les cohérences classiques. Nous ne reportons pas ici les résultats expérimentaux obtenus qui ne sont pas aboutis. Cependant, ceux-ci nous permettent de dégager quelques enseignements préliminaires. Les points positifs sont les suivants : ? Lazy-box?set en version profondeur d'abord introduit un surcoût négligeable par rapport à un schéma de résolution classique 2B+bissection
, Ce facteur pourrait être réduit en s'appuyant sur une bibliothèque de gestion de BDD optimisée. Nous disposerions ainsi d'un filtrage par arc-cohérence comme alternative possible à la, p.2
, est pas étonnant : la connaissance des périodes ou des branches monotones d'une fonction élémentaire (par exemple, savoir que la fonction carrée ou inverse est monotone à droite de 0) ne capte qu'une infime partie de la sémantique des contraintes. Cette connaissance ne peut être utilisée pour un découpage naturel (lazy-box?set) ou un filtrage (etiq-AC) que pour des boîtes englobant un des points délimitant les branches monotones. A l'inverse
, étude théorique effectuée sur les cohérences d'unions conserve d'une part un intérêt d'un point de vue académique et, d'autre part, la possibilité de trouver un champ d'application ailleurs que dans les CSP continus. L'idée de départ d'etiq-AC, qui consiste à appliquer une cohérence à deux niveaux (c'est à dire d'appliquer simultanément une cohérence faible (comme l'arc?cohérence) sur une représentation fine des domaines et une cohérence forte (comme la cohérence globale) sur une représentation grossière)
, The Solution of Linear Interval Equations by a Linear Programming Method, Linear Algebra and its Applications, vol.259, pp.271-279, 1997.
, On the Existence Theorems of Kantorovich, Miranda and Borsuk, 2005.
, Introduction to Interval Computations, 1983.
, Interval analysis: theory and applications, Journal of Computational and Applied Mathematics, vol.121, issue.1-2, pp.421-464, 2000.
DOI : 10.1016/S0377-0427(00)00342-3
, A new Algorithm for Singleton Arc Consistency, FLAIRS'04, 2004.
, Algorithmique pour les Intervalles, 1997.
, Revising Hull and Box Consistency, ICLP, pp.230-244, 1999.
, Computer Methods for Design Automation, 1992.
, Mind the Gaps: A New Splitting Strategy for Consistency Techniques, CP, pp.77-91, 2005.
DOI : 10.1007/11564751_9
, CLP(intervals) revisited, International Symposium on Logic programming, pp.124-138, 1994.
, Applying interval arithmetic to real, integer, and boolean constraints, The Journal of Logic Programming, vol.32, issue.1, pp.1-24, 1997.
DOI : 10.1016/S0743-1066(96)00142-2
, Optimal and Suboptimal Singleton Arc Consistency Algorithms, IJCAI, pp.54-59, 2005.
, Symbolic Boolean Manipulation with Ordered Binary-Decision Diagrams, ACM Comput. Surv, vol.24, issue.3, pp.293-318, 1992.
, Extending Consistent Domains of Numeric CSP, IJCAI, pp.406-413, 1999.
, Extension of the Hansen-Bliek Method to Right-Quantified Linear Systems, Reliable Computing, vol.5, issue.3, 2006.
DOI : 10.1007/s11155-007-9037-6
, Logical Arithmetic, Future Computing Systems, vol.2, issue.2, pp.125-149, 1987.
, Quantifier Elimination for Real Closed Fields by Cylindrical Algebraic Decomposition. Automata Theory and Formal Languages, pp.134-183, 1975.
, A Note on Partial Consistencies over Continuous Domains Solving Techniques, CP, pp.147-161, 1998.
, Box-set consistency for interval-based constraint problems, Proceedings of the 2005 ACM symposium on Applied computing , SAC '05, pp.1439-1443, 2005.
DOI : 10.1145/1066677.1067005
, IGC : Une Nouvelle Consistance Partielle pour les CSPs Continus, JFPC -Journées Francophones de Programmation par Contraintes, 2005.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/inria-00000065
, Interval Method for Calibration of Parallel Robots : A Vision-based Experimentation. Mechanism and Machine Theory, pp.929-944, 2006.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00096050
, Linear Programming and Extensions, 1963.
, From Restricted Path Consistency to Max-Restricted Path Consistency, CP, pp.312-326, 1997.
, Some Practicable Filtering Techniques for the Constraint Satisfaction Problem, IJCAI, pp.412-417, 1997.
, Real quantifier elimination is doubly exponential, Journal of Symbolic Computation, vol.5, issue.1-2, pp.29-35, 1988.
DOI : 10.1016/S0747-7171(88)80004-X
, Éléments de Calcul Numérique, Editions Mir, 1973.
, Network-based heuristics for constraint-satisfaction problems, Artificial Intelligence, vol.34, issue.1, pp.1-38, 1987.
DOI : 10.1016/0004-3702(87)90002-6
, Arc-consistency for continuous variables, Artificial Intelligence, vol.65, 1994.
, Proving the existence of zeros using the topological degree and interval arithmetic, Journal of Computational and Applied Mathematics, vol.199, issue.2, 2004.
DOI : 10.1016/j.cam.2005.07.030
, Existence Tests for Solutions of Nonlinear Equations Using Borsuk's Theorem, SIAM Journal on Numerical Analysis, vol.43, issue.3, 2004.
DOI : 10.1137/S0036142903438148
, A Comparison of the Moore and Miranda Existence Tests, Computing, vol.72, issue.3-4, pp.3-4349, 2004.
DOI : 10.1007/s00607-004-0064-4
, A Sufficient Condition for Backtrack-Free Search, Journal of the ACM, vol.29, issue.1, pp.24-32, 1982.
, Progress in the Solving of a Circuit Design Problem, Journal of Global Optimization, vol.20, issue.2, pp.155-168, 2001.
DOI : 10.1023/A:1011266226870
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00444122
, A Generalized Interval LU Decomposition for the Solution of Interval Linear Systems, NMA -6th International Conference on Numerical Methods and Applications, 2006.
, On the Approximation of Linear AE-Solution Sets, SCAN -12th International Symposion on Scientific Computing, 2006.
, Generalized Interval Projection : A New Technique for Consistent Domain Extension, IJCAI, 2007.
, Modal intervals revisited : a mean-value extension to generalized intervals, QCP, 2005.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00990048
, Box consistency through weak box consistency, Proceedings 11th International Conference on Tools with Artificial Intelligence, pp.373-380, 1999.
DOI : 10.1109/TAI.1999.809826
, Computers and Intractability (A Guide to the Theory of NP- Completeness), 1979.
, Inner and Outer Approximations of Existentially Quantified Equality Constraints, 2006.
DOI : 10.1007/11889205_16
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00481288
, A Specific Quantifier Elimination for Inner Box Test in Distance Constraints with Uncertainties, 2006.
, Modal intervals : Reason and ground semantics, Interval Mathematics, vol.212, pp.27-35, 1985.
DOI : 10.1007/3-540-16437-5_4
, A Right-Preconditioning Process for the Formal-Algebraic Approach to Inner and Outer Estimation of AE-solution Sets, Reliable Computing, vol.11, issue.6, pp.443-478, 2005.
, Définition et Applications des Extensions des Fonctions Réelles aux Intervalles Généralisés, 2005.
, A Branch and Prune Algorithm for the Approximation of Non-Linear AE-solution Sets, ACM SAC, pp.1650-1654, 2006.
, Comparison of the Hansen-Sengupta and the Frommer-Lang-Schnurr Existence Tests, Computing, 2007.
, Modal Intervals Revisited, Part 1 : A Generalized Interval Natural Extension, Reliable Computing, 2007.
, Modal Intervals Revisited, Part 2 : A Generalized Interval Mean-Value Extension, Reliable Computing, 2007.
, On Considering an Interval Constraint Solving Algorithm as a Free-Steering Nonlinear Gauss-Seidel Procedure, ACM SAC, pp.1434-1438, 2005.
, A Symbolic-Numerical Branch-and-Prune Algorithm for Solving Nonlinear Polynomial Systems, Journal of Universal Computer Science, vol.4, issue.2, pp.125-146, 1998.
, On the Combination of Interval Constraint Solvers, Reliable Computing, vol.7, issue.6, pp.467-483, 2001.
, Evaluating Derivatives : Principles and Techniques of Algorithmic Differentiation, 2000.
, Interval Arithmetic in Matrix Computations, Part 1, SIAM J. Numer. Anal, vol.2, issue.2, pp.308-320, 1965.
, Interval Forms of Newton's Method. Computing, pp.153-163, 1978.
, Bounding the Solution of Interval Linear Equations, SIAM J. Numer. Anal, vol.29, issue.5, pp.1493-1503, 1992.
, Global Optimization using Interval Analysis Multi-criteria Optimal Design of Parallel Manipulators based on Interval Analysis. Mechanism and Machine Theory, pp.151-171, 1992.
, Bounding solutions of systems of equations using interval analysis, BIT, vol.17, issue.2, pp.203-211, 1980.
DOI : 10.1007/BF01933165
, Constraint Reasoning Based on Interval Arithmetic?The Tolerance Propagation Approach, Artificial Intelligence, vol.58, pp.71-112, 1992.
, Rigorous Lower and Upper Bounds in Linear Programming, SIAM Jour. of Optimization, vol.14, issue.3, pp.914-935, 2004.
, Nonlinear bounded-error state estimation of continuous-time systems, Automatica, pp.1079-1082, 2002.
, Localization of an Underwater Robot using Interval Constraint Propagation, 2006.
, Applied Interval Analysis, Kau80] E. Kaucher. Interval Analysis in the Extended Interval Space. Computing, pp.33-49, 1980.
DOI : 10.1007/978-1-4471-0249-6
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00845131
, Rigorous Global Search : Continuous Problems, 1996.
, Symbolic Preconditioning with Taylor Models : Some Examples, Reliable Computing, vol.8, issue.6, pp.453-468, 2002.
, Computational complexity and feasibility of data processing and interval computations, 1997.
DOI : 10.1007/978-1-4757-2793-7
, On the Computational Complexity of the Solution of Linear Systems with Moduli, Reliable Computing, vol.2, issue.2, pp.125-132, 1996.
, Contribution à la Résolution de Contraintes par Consistance Forte, 1999.
, Consistency Techniques for Numeric CSPs, IJCAI, pp.232-238, 1993.
, Contribution à la résolution de contraintes sur les réels par propagation d'intervalles, 1994.
, Solving the Forward Kinematics of a Gough-Type Parallel Manipulator with Interval Analysis, The International Journal of Robotics Research, vol.23, issue.3, pp.221-236, 2004.
DOI : 10.1177/0278364904039806
, Alias-C++. http ://www-sop.inria.fr/coprin, 2006.
, Interval Analysis, 1966.
, When Interval Analysis Helps Inter-block Backtracking, 2006.
DOI : 10.1007/11889205_29
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00486724
, Interval Methods for Systems of Equations, 1990.
, A simple Derivation of the Hansen-Bliek-Rohn-Ning-Kearfott Enclosure for Linear Interval Equations, Reliable Computing, vol.5, issue.2, pp.131-136, 1999.
, A Comparison of some Methods for Solving Linear Interval Equations, SIAM Journal on Numerical Analysis, vol.34, issue.4
DOI : 10.1137/S0036142994270995
, On the Solution Set of a Linear System with Inaccurate Coefficients, SIAM J. Numer. Anal, vol.2, issue.1, pp.115-118, 1965.
, Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables, 1970.
DOI : 10.1137/1.9780898719468
, Eine Verallgemeinerung der Intervallarithmetik, Geselschaft fuer Mathematik und Datenverarbeitung, vol.11, pp.1-71, 1969.
, AC-*: A Configurable, Generic and Adaptive Arc Consistency Algorithm, CP, pp.505-519, 2005.
DOI : 10.1007/11564751_38
, An Existence Theorem for Systems of Nonlinear Equations, Zeitschrift fuer Angewandte Mathematik und Mechanik, p.345, 1980.
, Systems of Linear Interval Equations, Linear Algebra and its Applications, vol.126, pp.39-78, 1989.
, Cheap and Tight Bounds : The Recent Result by E. Hansen Can Be Made More Efficient, Interval Computations, vol.1, issue.4, pp.13-21, 1993.
, Systems of Interval Linear Equations and Inequalities (Rectangular Case), Academy of Science of the Czech Republic, 2002.
, How Strong is Strong Regularity ? Reliable Computing, pp.491-493, 2005.
, Checking Robust NonSingularity is NP-hard, Mathematics of Control, Signals, and Systems, vol.6, issue.1, pp.1-9, 1993.
, Validated Solutions of Linear Equations. A New Approach to Scientific Computation, pp.51-120, 1983.
, Algorithms for Verified Inclusions-Theory and Practice. Reliability in computing : the role of interval methods in scientific computing, pp.109-126, 1988.
, On Optimal Solution of Interval Linear Equations, SIAM J. Numer. Anal, vol.32, issue.2, pp.610-630, 1995.
, Outer Estimation of Generalized Solution Sets to Interval Linear Systems, Reliable Computing, vol.5, issue.3, pp.323-335, 1999.
, On Maximal Inner Estimation of the Solution Sets of Linear Systems with Interval Parameters, Reliable Computing, vol.7, issue.5, pp.409-424, 2001.
, A New Technique in Systems Analysis Under Interval Uncertainty and Ambiguity, Reliable Computing, vol.8, issue.5, pp.321-418, 2002.
, The Kantorovitch Theorem for Newton's Method, American Mathematic Monthly, vol.78, issue.1, pp.389-392, 1971.
, Constructive Interval Disjunction, IntCP, 2006.
DOI : 10.1007/978-3-540-74970-7_45
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00936654
, Numerica : A Modeling Language for Global Optimization, 1997.
, Solving Polynomial Systems Using a Branch and Prune Approach, SIAM Journal on Numerical Analysis, vol.34, issue.2, pp.797-827, 1997.
DOI : 10.1137/S0036142995281504
, Understanding Line Drawings of Scenes with Shadows. The Psychology of Computer Vision, pp.19-91, 1975.