Stochastic control problems: control under constraint, controllability and application to reinsurance
Problèmes de contrôle stochastiques : contrôle sous contrainte, contrôlabilité et application à la réassurance
Résumé
The aim of this thesis is to present some contributions in the framework of control for stochastic differential equations in finite or infinite dimension:
(1) Non-compact-valued stochastic control under state constraints;
The first chapter is devoted to the study of a necessary condition under which the solutions of a stochastic differential equation governed by unbounded control processes remain in an arbitrarily small neighborhood of a given set of constraints.
(2) Approximate controllability for linear SDEs with control acting on the noise;
In this chapter we study approximate controllability for a linear SDE for the case when the control acts also on the noise. We prove, using the dual BSDE and Riccati methods that approximate controllability is equivalent to the local in time viability for a suitable set.
(3) Approximate Controllability for Linear Stochastic Differential Equations in Infinite Dimensions ;
We investigate the approximate controllability property of a stochastic linear system on a separable real Hilbert space. In particular, we prove the existence and uniqueness for the (dual) linear BSDE with linear unbounded operators acting on Y and on Z and we show the duality between approximate controllability and observability.
(4) Insurance, Reinsurance and Dividend Payment;
The aim of this chapter is to introduce an insurance model allowing reinsurance and dividend payment. Our model deals with several homogeneous contracts and takes into account the legislation regarding the provisions to be justified by the insurance companies.
(1) Non-compact-valued stochastic control under state constraints;
The first chapter is devoted to the study of a necessary condition under which the solutions of a stochastic differential equation governed by unbounded control processes remain in an arbitrarily small neighborhood of a given set of constraints.
(2) Approximate controllability for linear SDEs with control acting on the noise;
In this chapter we study approximate controllability for a linear SDE for the case when the control acts also on the noise. We prove, using the dual BSDE and Riccati methods that approximate controllability is equivalent to the local in time viability for a suitable set.
(3) Approximate Controllability for Linear Stochastic Differential Equations in Infinite Dimensions ;
We investigate the approximate controllability property of a stochastic linear system on a separable real Hilbert space. In particular, we prove the existence and uniqueness for the (dual) linear BSDE with linear unbounded operators acting on Y and on Z and we show the duality between approximate controllability and observability.
(4) Insurance, Reinsurance and Dividend Payment;
The aim of this chapter is to introduce an insurance model allowing reinsurance and dividend payment. Our model deals with several homogeneous contracts and takes into account the legislation regarding the provisions to be justified by the insurance companies.
Le but de cette thèse est de présenter quelques contributions dans le cadre du contrôle des équations différentielles stochastiques en dimension finie où infinie :
(1) Contrôle stochastique non borné sous contraintes d'état.
Nous étudions une condition nécessaire sous laquelle les solutions d'une EDS régie par un processus de contrôle non-borné restent dans un voisinage arbitrairement petit d'un ensemble donné de contraintes.
(2) Contrôlabilité approchée pour des équations différentielles linéaires avec bruit contrôlé.
Dans cette deuxième partie, on s'intéresse à la propriété de contrôlabilité approchée pour une EDS linéaire. Nous proposons une généralisation de la condition de Kalman pour le cas général où le contrôle agit sur le bruit.
(3) Contrôlabilité approchée pour des équations différentielles linéaires en dimension infinie.
La troisième partie est dédiée à l'étude de la propriété de contrôlabilité approchée pour un système stochastique linéaire dans un espace de Hilbert réel et séparable. En particulier, nous montrons l'existence et unicité pour la solution de l'EDSR duale lorsque les opérateurs qui agissent sur Y et Z sont non-bornés. Dans le cas d'un générateur infinitésimal d'un semi-groupe exponentiellement stable, nous montrons que le test généralisé de Hautus donne une condition nécessaire pour la contrôlabilité approchée.
(4) Assurance, réassurance et paiement de dividendes.
Nous introduisons un modèle d'assurance qui permet la réassurance et le paiement des dividendes. Notre modèle prend en compte plusieurs contrats homogènes ainsi que la législation européenne en vigueur concernant les provisions des sociétés d'assurance.
(1) Contrôle stochastique non borné sous contraintes d'état.
Nous étudions une condition nécessaire sous laquelle les solutions d'une EDS régie par un processus de contrôle non-borné restent dans un voisinage arbitrairement petit d'un ensemble donné de contraintes.
(2) Contrôlabilité approchée pour des équations différentielles linéaires avec bruit contrôlé.
Dans cette deuxième partie, on s'intéresse à la propriété de contrôlabilité approchée pour une EDS linéaire. Nous proposons une généralisation de la condition de Kalman pour le cas général où le contrôle agit sur le bruit.
(3) Contrôlabilité approchée pour des équations différentielles linéaires en dimension infinie.
La troisième partie est dédiée à l'étude de la propriété de contrôlabilité approchée pour un système stochastique linéaire dans un espace de Hilbert réel et séparable. En particulier, nous montrons l'existence et unicité pour la solution de l'EDSR duale lorsque les opérateurs qui agissent sur Y et Z sont non-bornés. Dans le cas d'un générateur infinitésimal d'un semi-groupe exponentiellement stable, nous montrons que le test généralisé de Hautus donne une condition nécessaire pour la contrôlabilité approchée.
(4) Assurance, réassurance et paiement de dividendes.
Nous introduisons un modèle d'assurance qui permet la réassurance et le paiement des dividendes. Notre modèle prend en compte plusieurs contrats homogènes ainsi que la législation européenne en vigueur concernant les provisions des sociétés d'assurance.
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