Finite element methods and a posteriori error estimations

Méthodes d'éléments finis et estimations d'erreur a posteriori

Sarah Dhondt-Cochez (1)

1 LAMAV - Laboratoire de Mathématiques et leurs Applications de Valenciennes - EA 4015

In this thesis, we develop a posteriori error estimators, for the finite element approximation of the time-harmonic Maxwell and reaction-diffusion equations. Introducing first, for Maxwell's system, residual type estimators, we study the dependence of the constants appearing in the lower and upper bounds with respect to the variation of the coefficients of the equation we consider. Then, we construct another type of estimator, based on equilibrated fluxes and the resolution of local problems, that we study for the reaction-diffusion equations and Maxwell's system. With all the estimators built for the Maxwell equation, we propose a comparison through numerical tests involving particular solutions on uniform meshes and refinement procedures with adaptive meshes. Finally, we propose an extension, for diffusion equations, of the equilibrated estimators to the discontinuous Galerkin finite element methods.

Dans cette thèse, on développe des estimateurs d'erreur a posteriori, pour l'approximation par éléments finis des équations de Maxwell en régime harmonique et des équations de réaction-diffusion. Introduisant d'abord, pour le système de Maxwell, des estimateurs de type résiduel, on étudie la dépendance des constantes intervenant dans les bornes inférieures et supérieures en fonction de la variation des coefficients de l'équation, en les considérant d'abord constants puis constants par morceaux. On construit ensuite un autre type d'estimateur, basé sur des flux équilibrés et la résolution de problèmes locaux, que l'on étudie dans le cadre des équations de réaction-diffusion et du système de Maxwell. Ayant introduit plusieurs estimateurs pour l'équation de Maxwell, on en propose une étude comparative, au travers de tests numériques présentant le comportement de ces estimateurs pour des solutions particulières sur des maillages uniformes ainsi que les maillages obtenus par des procédures de raffinement de maillages adaptatifs. Enfin, dans le cadre des équations de diffusion, on étend la construction des estimateurs équilibrés aux méthodes éléments finis de type Galerkin discontinues.

Mots clés: Finite elements; Maxwell's equations; error estimations; a posteriori estimations; residual; equilibrated fluxes; reaction-diffusion equations; discontinuous Galerkin methods

Mots clés: Eléments finis; équations de Maxwell; estimations d'erreur; estimations a posteriori; résidu; flux équilibrés; équations de réaction-diffusion; méthodes de Galerkin discontinues

Domaines: Mathématiques [math]

Sarah Dhondt-Cochez. Méthodes d'éléments finis et estimations d'erreur a posteriori. Mathématiques [math]. Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambresis, 2007. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00220484⟩