Abrupt convergence and metastability
Convergence abrupte et métastabilité
Abstract
The aim of this thesis is to link two phenomena concerning the asymptotical behavior of stochastic processes, which were disjoined up to now. The abrupt convergence or cutoff phenomenon on one hand, and metastability on the other hand.
In the cutoff case an abrupt convergence towards the equilibrium measure occurs at a time which can be determined, whereas metastability is linked to a great uncertainty of the time at which we leave some equilibrium. We propose a common framework to compare and study both phenomena : that of discrete time birth and death chains on $\mathbb{N}$ with drift towards zero.
Under the drift hypothesis, we prove that there is an abrupt convergence towards zero, metastability in the other direction, and that the last exit in the metastability is the time reverse of a typical cutoff path.
We extend our approach to the Ehrenfest model, which allows us to prove abrupt convergence and metastability with a weaker drift hypothesis.
In the cutoff case an abrupt convergence towards the equilibrium measure occurs at a time which can be determined, whereas metastability is linked to a great uncertainty of the time at which we leave some equilibrium. We propose a common framework to compare and study both phenomena : that of discrete time birth and death chains on $\mathbb{N}$ with drift towards zero.
Under the drift hypothesis, we prove that there is an abrupt convergence towards zero, metastability in the other direction, and that the last exit in the metastability is the time reverse of a typical cutoff path.
We extend our approach to the Ehrenfest model, which allows us to prove abrupt convergence and metastability with a weaker drift hypothesis.
Le but de cette thèse est de relier deux phénomènes relatifs au comportement asymptotique des processus stochastiques, qui jusqu'à présent étaient restés dissociés. La convergence abrupte ou phénomène de cutoff d'une part, et la métastabilité d'autre part. Dans le cas du cutoff, une convergence abrupte vers la mesure d'équilibre du processus a lieu à un instant que l'on peut déterminer, alors que la métastabilité est liée à une grande incertitude sur l'instant où l'on va sortir d'un certain équilibre. On propose un cadre commun pour étudier et comparer les deux phénomènes : celui des chaînes de naissance et de mort à temps discret sur $\mathbb{N}$, avec une dérive vers zéro.
On montre que sous l'hypothèse de dérive il y a convergence abrupte vers zéro et métastabilité dans l'autre sens. De plus la dernière excursion dans la métastabilité est la renversée temporelle d'une trajectoire typique de cutoff.
On étend notre approche au modèle d'Ehrenfest, ce qui nous permet de montrer la convergence abrupte et la métastabilité sous une hypothèse de dérive plus faible.
On montre que sous l'hypothèse de dérive il y a convergence abrupte vers zéro et métastabilité dans l'autre sens. De plus la dernière excursion dans la métastabilité est la renversée temporelle d'une trajectoire typique de cutoff.
On étend notre approche au modèle d'Ehrenfest, ce qui nous permet de montrer la convergence abrupte et la métastabilité sous une hypothèse de dérive plus faible.