Differences equations and splitting of separatrices
Equations aux différences et scission de séparatrices
Résumé
The purpose of this dissertation is to study how the discretization of a differential equation affects, the stable and unstable manifolds in two concrete examples: the logistic equation and the pendulum equation. The logistic equation is equivalent to a system with two fixed points A and B. It is known that the stable manifolds at A coincides with the unstable manifold at B. By improving some results of A. Fruchard and R. Schäfke, we show that the two manifolds do not coincide any more in the discretezed equation. The proof is a modification of an approach introduced by R. Schäfke and H. Volkmer. First, we build a formal solution with polynomial coefficients. Then we give an asymptotic approximation of these coefficients. From these estimates we can obtain a quasi-solution, that is, a function which satisfies the difference equation except for an exponentially small error; moreover we can evaluate the asymptotic behavior of the distance between the two manifolds. To conclude, we show that some constant alpha appearing in the dominant term of the distance between the manifolds is non zero, and we further give a precise approximation for it. The second part of the thesis is dedicated to an analogous study regarding the pendulum equation and its discretization (Standard mapping). Similar results were obtained by Lazutkin et al., but our proof is completely different. This case is harder than the previous one, for we deal with a second order equation.
Cette thèse a pour objet d'étudier l'influence de la discrétisation d'une équation différentielle sur les variétés stables et instables dans deux exemples concrets : l'équation logistique et l'équation du pendule. L'équation logistique est équivalente à un système qui admet deux points selles A et B. Il est connu que la variété stable en A coïncide avec la variété instable en B. En améliorant des résultats antérieures de A. Fruchard et R. Schäfke, nous montrons que les deux variétés ne coïncident plus pour l'équation discrétisée. La démonstration est basée sur une modification d'une approche développée par R. Schäfke et H. Volkmer. Nous construisons d'abord une solution formelle à coefficients polynomiaux. Ensuite, nous donnons une approximation asymptotique des coefficients de la solution formelle. Ces estimations nous permettent d'obtenir une quasi-solution c'est à dire une fonction qui vérifie l'équation aux différences avec une erreur exponentiellement petite, puis de déterminer le comportement asymptotique de la distance entre les deux variétés. Pour conclure, nous démontrons qu'une constante alpha dans le terme dominant de la distance entre les variétés n'est pas nulle et nous donnons une approximation précise de cette constante. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à une étude analogue concernant l'équation du pendule et de sa discrétisation (Application standard). Des résultats similaires ont été obtenus par Lazutkin et al., mais la preuve que nous avons utilisée est complètement différente. Ce cas est plus difficile que le précédent parce qu'il s'agit d'une équation du second ordre.
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