Some combinatorial results in additive number theory
Quelques résultats combinatoires en théorie additive des nombres
Résumé
The first part of this thesis deals with a colouring problem in finite groups. Given a “regular” equation, we focus our interest in the numbers of differently coloured solutions. We express linear relations between these numbers of solutions, that depend only on the cardinalities of the coloured classes and not on the distribution of the colours.
The second part belongs to the range of additive number theory. We develop a new interpretation of the isoperimetric method of Y. ould Hamidoune, which allows us to give a new proof of Kneser's Theorem, which is a major tool in additive number theory. We give another application of this new interpretation to the computation of new values of the size of optimally small sumsets in some non abelian groups. These new values allow us to answer negatively a question asked in litterature.
The second part belongs to the range of additive number theory. We develop a new interpretation of the isoperimetric method of Y. ould Hamidoune, which allows us to give a new proof of Kneser's Theorem, which is a major tool in additive number theory. We give another application of this new interpretation to the computation of new values of the size of optimally small sumsets in some non abelian groups. These new values allow us to answer negatively a question asked in litterature.
La première partie de cette thèse traite d'un problème de coloration dans les groupes finis. Pour une équation “régulière”, nous nous intéressons aux nombres de solutions différemment colorées. Nous montrons qu'il existe des combinaisons linéaires entre ces nombres de solutions, qui ne dépendent que des cardinaux des classes de couleurs et pas de leur répartition.
La seconde partie de cette thèse se place dans le contexte de la théorie additive des nombres. Nous développons une nouvelle approche de la méthode isopérimétrique de Y. ould Hamidoune, qui nous permet, entre autres, de donner une nouvelle démonstration du théorème de Kneser, outil majeur en théorie additive des nombres. Nous donnons une autre application de cette nouvelle approche à la détermination de nouvelles valeurs de taille minimale d'une somme de deux ensembles de tailles fixées, dans des groupes non abéliens. Ces nouvelles valeurs répondent par la négative à une question de la littérature.
La seconde partie de cette thèse se place dans le contexte de la théorie additive des nombres. Nous développons une nouvelle approche de la méthode isopérimétrique de Y. ould Hamidoune, qui nous permet, entre autres, de donner une nouvelle démonstration du théorème de Kneser, outil majeur en théorie additive des nombres. Nous donnons une autre application de cette nouvelle approche à la détermination de nouvelles valeurs de taille minimale d'une somme de deux ensembles de tailles fixées, dans des groupes non abéliens. Ces nouvelles valeurs répondent par la négative à une question de la littérature.
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