Coupling equations and numerical resolution of fluid-structure interaction problems

Cornel Marius Murea

Abstract : The first fourth chapters concern steady fluid-structure interaction. We study unsteady interaction in the fifth and sixth chapters. The last two chapters are dedicated to the free boundary flow with surface tension which has some similarities with fluid-structure interaction.

One of the recurrent idea of this work is to take as a ``control'' a part of the boundary conditions at the interface and then to ``observe'' if all the boundary conditions hold at the interface. The observation is treated by the least squares method and an optimal control problem is obtained. In chapter 1, we prove that the cost function is weak sequentially lower semi-continuous and consequently, one can prove that the existence of an optimal control. We prove the differentiability of the cost function and we derive the analytic gradient. Numerical results are presented. In chapter 3, we study the sensitivity of the problem and we give the analytic form of the gradient whiteout employing the adjoint state. Numerical results are performed. In chapter 4, we impose the normal velocity of the fluid and the normal stress to the interface. This is a rarely used approach for solving the Stokes equations. We try to minimize the tangential velocity of the fluid at the interface. We prove that the problem is well posed and we present numerical results. In chapter 5, we introduce an algorithm where an optimization problem have to be solved at each time step. It is an algorithm well adapted for the pulsating flow. Numerical results are presented for relatively large time steps.

A convergence result concerning an algorithm for dynamic mesh is presented in chapter 6. In chapter 7 and 8, we try to find numerically the evolution of a two-dimensional domain with applications to cell development. The fluid flow in a moving domain depends on the surface tension at the free boundary. This surface tension is proportionally to the curvature of the boundary. The have employed ``front-tracking'' like algorithms. Numerical results are presented.

Résumé : Les premiers quatre chapitres traitent de l'interaction fluide-structure stationnaire. On étudie l'interaction évolutive en temps dans les chapitres cinq et six. Les deux derniers chapitres sont consacrés aux écoulements à frontière libre avec tension de surface qui ont certaines similitudes avec les problèmes d'interaction fluide-structure.

Le fil directeur de mes travaux est de prendre comme ``contrôle'' une partie des conditions aux limites à l'interface et ``d'observer'' si les conditions de couplage sont vérifiées. En traitant l'observation par la méthode de moindres carrés, on obtient des problèmes de type contrôle optimal. Dans le chapitre 1, on prouve que la fonction coût est semi-continue inférieurement et en conséquence, on peut démontrer l'existence d'un contrôle optimal. On prouve la différentiabilité de la fonction coût, et on donne la forme analytique du gradient dans le chapitre 2. On présente également des résultats numériques. Dans le chapitre 3 on étudie la sensibilité du problème et on donne la forme analytique du gradient sans faire appel à l'état adjoint. Des résultats numériques sont obtenus. Dans le chapitre 4, pour résoudre le problème du fluide, on prescrit la composante normale de la vitesse du fluide et la composante normale des forces de surface. C'est une formulation rarement utilisée pour résoudre les équations de Stokes. On cherche à minimiser la composante tangentielle de la vitesse du fluide à l'interface. On prouve que le problème fluide est bien défini et on présente des résultats numériques. Dans le chapitre 5, on introduit un algorithm où on doit résoudre à chaque pas de temps un problème de minimisation. C'est un algorithme bien adapté notamment quand le fluid est pulsatif. On présente des résultats numériques pour des pas de temps relativement grand.

Un résultat de convergence concernant un algorithme pour des maillages dynamiques est présenté dans le chapitre 6. Dans les chapitres 7 et 8, on veut déterminer numériquement l'évolution d'un domaine bidimensionnel avec application au développement cellulaire. L'écoulement du fluide dans le domaine en mouvement dépend de la tension de surface à la frontière libre. Cette tension est proportionnelle à la courbure de la frontière. Les algorithmes employés sont de type ``front-tracking''. Des résultats numériques sont présentés.

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Couplage d'équations et résolution numérique des problèmes d'interaction fluide-structure

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