Random walks in random environment on Z:
localization studies in the recurrent and transient cases
Marches aléatoires en milieu aléatoire sur Z:
études de localisation dans les cas récurrent et transient
Résumé
Random walks in random environment is a
suitable model for diffusion and transport in inhomogeneous media
that have regularity properties on a macroscopic scale. The first
introductive chapter illustrates the wide variety of behaviors that
are captured by the random walks in random environment model. The
second chapter concerns Sinai's walk (the recurrent case), which is
known for a phenomenon of strong localization. Our main result shows
a weakness of this localization phenomenon. In particular, we give a
negative answer to a problem of Erdös and Révész, originally
formulated for the usual homogeneous random walk. In the third
chapter, we focus our attention on the upper limits of Sinai's walk
in random scenery and treat a conjecture of Révész. The fourth
and fifth chapters deal with transient random walks in random
environment with zero asymptotic speed. A classical result of
Kesten, Kozlov and Spitzer says that the hitting time of the level
n converges in law, after a proper normalization, towards a
positive stable law, but they do not obtain a description of its
parameter. A different proof of this result is presented: a close
study of the potential associated to the environment leads to a
complete characterization of this stable law. The case of Dirichlet
environment turns out to be remarkably explicit.
suitable model for diffusion and transport in inhomogeneous media
that have regularity properties on a macroscopic scale. The first
introductive chapter illustrates the wide variety of behaviors that
are captured by the random walks in random environment model. The
second chapter concerns Sinai's walk (the recurrent case), which is
known for a phenomenon of strong localization. Our main result shows
a weakness of this localization phenomenon. In particular, we give a
negative answer to a problem of Erdös and Révész, originally
formulated for the usual homogeneous random walk. In the third
chapter, we focus our attention on the upper limits of Sinai's walk
in random scenery and treat a conjecture of Révész. The fourth
and fifth chapters deal with transient random walks in random
environment with zero asymptotic speed. A classical result of
Kesten, Kozlov and Spitzer says that the hitting time of the level
n converges in law, after a proper normalization, towards a
positive stable law, but they do not obtain a description of its
parameter. A different proof of this result is presented: a close
study of the potential associated to the environment leads to a
complete characterization of this stable law. The case of Dirichlet
environment turns out to be remarkably explicit.
Les marches aléatoires en
milieu aléatoire constituent un modèle permettant de décrire
des phénomènes de diffusion et de transport en milieux
inhomogènes, possédant néanmoins des propriétés de
régularité à grande échelle. Le premier chapitre,
introductif, illustre la richesse de comportements des marches
aléatoires en milieu aléatoire. Le second chapitre concerne la
marche de Sinai (cas récurrent) et répond négativement à une
conjecture d'Erdös et Révész initialement posée pour la
marche aléatoire simple. Il révèle un paradoxe lié au
phénomène de localisation obtenu par Sinai. Dans le troisième
chapitre, nous nous intéressons à la limite supérieure de la
marche de Sinai en paysage aléatoire et traitons une conjecture de
Révész. Les quatrième et cinquième chapitres concernent les
marches aléatoires en milieu aléatoire transientes de vitesse
nulle. Un résultat classique de Kesten, Kozlov et Spitzer dit que
le temps d'atteinte du niveau n converge en loi, après
renormalisation, vers une variable aléatoire positive stable, mais
ils n'obtiennent pas la description de son paramètre. Nous
présentons ici une nouvelle preuve de ce résultat: une analyse
fine du potentiel associé à l'environnement nous permet
d'obtenir une caractérisation complète de la loi stable limite.
Le cas d'environnements de Dirichlet s'avère être
particulièrement explicite.
milieu aléatoire constituent un modèle permettant de décrire
des phénomènes de diffusion et de transport en milieux
inhomogènes, possédant néanmoins des propriétés de
régularité à grande échelle. Le premier chapitre,
introductif, illustre la richesse de comportements des marches
aléatoires en milieu aléatoire. Le second chapitre concerne la
marche de Sinai (cas récurrent) et répond négativement à une
conjecture d'Erdös et Révész initialement posée pour la
marche aléatoire simple. Il révèle un paradoxe lié au
phénomène de localisation obtenu par Sinai. Dans le troisième
chapitre, nous nous intéressons à la limite supérieure de la
marche de Sinai en paysage aléatoire et traitons une conjecture de
Révész. Les quatrième et cinquième chapitres concernent les
marches aléatoires en milieu aléatoire transientes de vitesse
nulle. Un résultat classique de Kesten, Kozlov et Spitzer dit que
le temps d'atteinte du niveau n converge en loi, après
renormalisation, vers une variable aléatoire positive stable, mais
ils n'obtiennent pas la description de son paramètre. Nous
présentons ici une nouvelle preuve de ce résultat: une analyse
fine du potentiel associé à l'environnement nous permet
d'obtenir une caractérisation complète de la loi stable limite.
Le cas d'environnements de Dirichlet s'avère être
particulièrement explicite.
Loading...