Immersion Techniques for Nonlinear Estimation - Application to Power Systems
Techniques d'Immersion pour l'Estimation Non Linéaire - Application aux Systèmes de Puissance
Résumé
This work lies
within the scope of the nonlinear estimation problem, the estimation
(or observation) process concerning both the state variables and the
parameters. When faced to this problem, we are led in
general-through lack of a systematic (general) solution-to find
a transformation of the system to observe, which makes possible the
synthesis of an observer.
Our contributions mainly concern the transformations through
immersion, which generalize the transformations through
diffeomorphism in the way that the dimension of the state space is
not necessarily preserved---it may increase. First, we resort to the
use of output injection in order to enlarge the class of the systems
that can be immersed into a state affine form and we indicate some
heuristic ways to construct the immersion. Second, we show that a
possibility to obtain a rigorous characterization of the immersion
conditions, regardless the presence of output injection,
is to tolerate in some way the nonlinearities. The corresponding
immersion procedure is systematic in the absence of output injection
but it can be easily adapted to account for the presence of the
latter. We justify our interest towards the form that results
through immersion by presenting a high gain observer whose synthesis
does not rely on the uniform observability assumption. We verify the
applicability of the results through examples in the field of the
electric power systems, the most important among them concerning the
state and parameter simultaneous estimation in induction motors.
within the scope of the nonlinear estimation problem, the estimation
(or observation) process concerning both the state variables and the
parameters. When faced to this problem, we are led in
general-through lack of a systematic (general) solution-to find
a transformation of the system to observe, which makes possible the
synthesis of an observer.
Our contributions mainly concern the transformations through
immersion, which generalize the transformations through
diffeomorphism in the way that the dimension of the state space is
not necessarily preserved---it may increase. First, we resort to the
use of output injection in order to enlarge the class of the systems
that can be immersed into a state affine form and we indicate some
heuristic ways to construct the immersion. Second, we show that a
possibility to obtain a rigorous characterization of the immersion
conditions, regardless the presence of output injection,
is to tolerate in some way the nonlinearities. The corresponding
immersion procedure is systematic in the absence of output injection
but it can be easily adapted to account for the presence of the
latter. We justify our interest towards the form that results
through immersion by presenting a high gain observer whose synthesis
does not rely on the uniform observability assumption. We verify the
applicability of the results through examples in the field of the
electric power systems, the most important among them concerning the
state and parameter simultaneous estimation in induction motors.
La th\'{e}matique dans laquelle
ce travail s'inscrit est l'estimation des syst\`{e}mes non lin\'{e}aires, le
processus d'estimation (ou d'observation) concernant aussi bien les
variables d'\'{e}tat que les param\`{e}tres. En g\'{e}n\'{e}ral, le probl\`{e}me
d'observation non lin\'{e}aire oblige---faute d'une solution
syst\'{e}matique---\`{a} une transformation du syst\`{e}me \`{a} observer sous une
forme pour laquelle la synth\`{e}se d'un observateur soit possible. Nos
contributions concernent principalement les transformations par
immersion, qui g\'{e}n\'{e}ralisent les transformations par diff\'{e}omorphisme
au sens o\`{u} la dimension de l'espace d'\'{e}tat n'est pas forcement
pr\'{e}serv\'{e}e\nobreakdash---elle peut augmenter. Dans une premi\`{e}re
partie on en appelle \`{a} l'injection de sortie dans le but d'\'{e}largir
la classe des syst\`{e}mes qui peuvent s'immerger dans une forme affine
en l'\'{e}tat et on propose des façons heuristiques de construire
l'immersion. Puis, dans une deuxi\`{e}me partie on montre qu'une
possibilit\'{e} d'obtenir une caract\'{e}risation pr\'{e}cise des conditions
d'immersion, m\^{e}me en pr\'{e}sence de l'injection de sortie, est de
tol\'{e}rer d'une certaine façon les non lin\'{e}arit\'{e}s. La proc\'{e}dure
d'immersion qui s'obtient est syst\'{e}matique si l'on n'utilise pas
l'injection de sortie. Pour justifier l'int\'{e}r\^{e}t vis-\`{a}-vis de la
forme qui en r\'{e}sulte on pr\'{e}sente un observateur \`{a} grand gain dont la
synth\`{e}se ne s'appuie pas sur l'hypoth\`{e}se d'observabilit\'{e} uniforme.
L'applicabilit\'{e} des r\'{e}sultats est v\'{e}rifi\'{e}e sur des exemples dans le
domaine des syst\`{e}mes \'{e}lectriques de puissance, dont le plus
important concerne l'estimation simultan\'{e}e d'\'{e}tat et de param\`{e}tres
dans les moteurs asynchrones.
ce travail s'inscrit est l'estimation des syst\`{e}mes non lin\'{e}aires, le
processus d'estimation (ou d'observation) concernant aussi bien les
variables d'\'{e}tat que les param\`{e}tres. En g\'{e}n\'{e}ral, le probl\`{e}me
d'observation non lin\'{e}aire oblige---faute d'une solution
syst\'{e}matique---\`{a} une transformation du syst\`{e}me \`{a} observer sous une
forme pour laquelle la synth\`{e}se d'un observateur soit possible. Nos
contributions concernent principalement les transformations par
immersion, qui g\'{e}n\'{e}ralisent les transformations par diff\'{e}omorphisme
au sens o\`{u} la dimension de l'espace d'\'{e}tat n'est pas forcement
pr\'{e}serv\'{e}e\nobreakdash---elle peut augmenter. Dans une premi\`{e}re
partie on en appelle \`{a} l'injection de sortie dans le but d'\'{e}largir
la classe des syst\`{e}mes qui peuvent s'immerger dans une forme affine
en l'\'{e}tat et on propose des façons heuristiques de construire
l'immersion. Puis, dans une deuxi\`{e}me partie on montre qu'une
possibilit\'{e} d'obtenir une caract\'{e}risation pr\'{e}cise des conditions
d'immersion, m\^{e}me en pr\'{e}sence de l'injection de sortie, est de
tol\'{e}rer d'une certaine façon les non lin\'{e}arit\'{e}s. La proc\'{e}dure
d'immersion qui s'obtient est syst\'{e}matique si l'on n'utilise pas
l'injection de sortie. Pour justifier l'int\'{e}r\^{e}t vis-\`{a}-vis de la
forme qui en r\'{e}sulte on pr\'{e}sente un observateur \`{a} grand gain dont la
synth\`{e}se ne s'appuie pas sur l'hypoth\`{e}se d'observabilit\'{e} uniforme.
L'applicabilit\'{e} des r\'{e}sultats est v\'{e}rifi\'{e}e sur des exemples dans le
domaine des syst\`{e}mes \'{e}lectriques de puissance, dont le plus
important concerne l'estimation simultan\'{e}e d'\'{e}tat et de param\`{e}tres
dans les moteurs asynchrones.
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