, élève B2 de préciser l'objectif relativement auquel le travail opératoire va se développer, avant même que ce développement n'ait été amorcé, alors que pour l'élève B3, ces deux dimensions sont ici déconnectées l'une de l'autre. On sent chez B2 poindre une inquiétude, même si elle reste encore confuse Elle nous semble interprétable de la façon suivante. Si l'on résout l'équation par les techniques habituelles, on va nécessairement trouver des solutions entières pour les inconnues. Comment concilier ceci avec le fait que l'on veut aboutir à une impossibilité, c'est-à-dire montrer qu'il n'y a pas de valeurs entières possibles pour a et b ? Ceci bien sûr témoignerait d'un glissement implicite des A et B aux a et b
, Problème ouvert et situation-problème, 1988.
, Les tiroirs de Dirichlet in Arithmétique ? Secrets de Nombres (Hors-série n°6 Tangente), 1998.
, Why Johnny can't prove in, Educational Studies in Mathematics, vol.38, issue.13, 1999.
, Exercices de mathématiques pour l'agrégation, Algèbre 1, 1994.
, Thèse de Doctorat ; Université Joseph Fourier, Grenoble. Spécificités et potentialités de l'arithmétique élémentaire pour l'apprentissage du raisonnement mathématique V, Battie, vol.343
, suivant les valeurs de n et en fonction de n, le PGCD de a et b
, B1 : Ben, faut démontrer que ça s'écrit pas a sur b et pis c'est tout. -- B2 (à elle-même)Alors que pouvons nous dire à ce sujet, que pouvons nous dire? -- B1 : Attends, eh, j'suis sûr qu'on l'a déjà fait B3 : Ben si tu retrouves l'exercice. Tranquille B1 : ça se passera pas comme ça moi j'te l'dis. -- B3 : Donc x égal a sur b B2 : Hum alors, comment on va la faire la démonstration ? B3 : égal à racine de 2 B1 : Tu fais ça, racine de 2 égal a sur b, hop. Point d'interrogation. B3 : Ca on s'en doute mais euh. -- B3 : Après. B1 : Euh?J'sais pas trop, attends j'vais regarder dans le cours mais euh. B2 : Ca me rappelle rien du tout. B3 : Si on a vu -B1 : Si on vu ça B3 : ?un devoir à la maison à faire avec ça. Dans les annales/ B2 : C'était pas avec Viete ? Non c'était pas avec Viete. B3 : Y'avait eu un exercice vraiment ? -B1 : C'est quel exo avec Viete ? B2 : Non, non euh? -- B2 : Tu te rappelles de l'exercice ? B1 : J'ai un vague souvenir mais sans plus. B3 : Mais c'était pas dans des annales ? B2 : Ben regarde t'as pas des annales ? Ils continuent à chercher B2 : En arithmétique ? B3 : J'crois ouais. B1 : ça c'est sûr c'est de l'arithmétique. B3 : Non, non j'crois que c'était dans euh?C'est pas dans le cours ? Si c'était dans le cours. B1 : Ben cherche alors. B2 : Donc en fait il faut montrer que racine de 2 ça s'écrit a sur b ? B1 : Non ! Ca s'écrit pas a sur b. - B3 : Non justement, c'est pas rationnel. B2 : Oui ça s'écrit pas a sur b, d'accord. B3 : Enfin, ça dépend mais? On te demande si c'est rationnel ou irrationnel, mais comme j'me souviens qu'on l'avait calculé, qu'on l'avait fait et que c'était rationnel, fin que c'était pas rationnel, B1 : Racine de 2 c'est pas rationnel. B3 : « Est-il rationnel ou irrationnel B2 : Non mais de toute façon les racines aux carrés c'est pas rationnel. B3 : Ben si. B2 : Sauf euh les carrés parfaits. B1 : Ben non?J'suis sûr que tu en trouves un qui est/ V.Battie B3 : Y'en a qui sont rationnels. B2 : Et ben racine de 9 c'est rationnel. B1 : C'est normal ça fait 3. B2 : Ben oui, donc j'te dis à part les carrés parfaits. B1 : J'suis sûre t'as parlé des inaudible Rires B2 : C'est bien c'que j'te dis ! B3
, Ah non ça fait 1 414 j'crois c'est ça Et pis ça continue après. -- B1 : C'est où qu'on parle des rationnels et des irrationnels B3 : Moi j'suis sûr qu'on avait vu ça Mais j'crois pas que ce soit de l'arithmétique. B1 : Non c'est pas dans le cahier de cours B3 : Dans le cahier d'exercices. B1 : Vous êtes sûrs ? B3 : Ben sors-le et regarde. L'exercice qu'on avait fait. B1 : inaudible B2 : De quoi ? B3 : Est-ce quelqu'un a son cahier d'exercice ? B1 : Théorème de Gauss et nombres premiers B2 : Non je ne l'ai pas Juste cahier de cours B3 : De quoi tu parles ? On parle pas de la même chose. B1 : On peut toujours utiliser les congruences. Inaudible c'est qu'il est pas rationnel. B3 : En fait racine de 2 égal à a sur b. B2 : Ouais mais la congruence c'est pour résoudre les problèmes de divisibilité non ? B1 : C'est c'que j'essaye de dire depuis tout à l'heure, B1 : C'est c'qui faut trouver hein. B3 : Donc euh B1 : Ca veut pas dire que racine de 2 est congru inaudible B2 : Alors ça j'en ai aucune idée. Congru inaudible B3 : Ca ça dépend de/ B1 : Non, non non non B2 : Et, ben ? B1 : Bon j'abandonne. B2 : Ah tu veux dire que a sur b n'est pas congru à racine de 2. B1 : Si on a prouvé que ça/ B1 : Ouais voilà ou un truc du genre. -- B1 : Y'en a marre maintenant j'suis sûr qu'on a vu
, Ecris racine de 2 b. B3 : Ce que tu fais racine de 2b moins a égal 0 mais là ça va revenir strictement au même Mais euh, comme tu sais que b est différent de 0, tu prends pour b égal 1. Tu vas avoir moins a égal racine de 2 un truc comme ça j'sais pas. Faut partir à mon avis de ça. Faut partir de ce truc là et puis euh B1 : Faut qu'on fasse une équation. B2 : Et a et b ils sont, a et b ils sont premiers entre eux puisque c'est une fraction irréductible. B3 : En plus et regarde. C'est exactement la même forme que l'équation de , de , de Bézout. B1 : Ouais à mon avis si elle a écrit ça au tableau c'est pas un hasard. B3 : Ah, ouais ? Donc si t'as racine de 2 moins a égal 0, de là tu peux, tu peux utiliser la technique qu'on connaît avec l'algorithme d'Euclide et/ B1 : Ouais mais le problème c'est que le truc apparemment inaudible des nombres entiers, B3 : A mon avis faut plus B3 : Ben eh, racine de 2. B1 : Racine de 2 il est pas entier. B3 : Ah ouais? Là ça coule. -- B1 : Non, non,non, arrête ta piste elle est pas bonne. B2 : De quoi de quoi, de quoi ? B1 : Ta piste elle est pas bonne
, B1 : Ca se passera pas comme ça
, B3 : Ah oui tu veux dire/ B2 : Donc ça fait a², a² moins 2 ab plus b². B1 : C'est quelle page rationnel et irrationnel? B2 : Je sais pas c'est pas écrit. Y'a pas rationnel et irrationnel B3 : On a peut-être trouvé un truc, faut peut-être montrer que tel machin est irrationnel? B1 : Faut arrêter les drogues le matin B2 : Non non j't'assure y'a rien B1 : Mais si tu me l'avais montré. B2 : J'tai rien montré du tout. -- B2 : Moi je suis à théorème de Gauss moi. B3 : Ben x égal à a sur b ah ouais non mais là c'est pas. B1 : Eh déjà on a triché parce qu'on est parti sur le fait que c'était irrationnel. Faut partir sur le fait qu'on sait pas. B3 : Ouais ben oui de toute manière c'est ça qui faut montrer. A mon avis faut que tu / B2 : Attends, si. B3 : Partes du fait qu'on ne sait pas et ensuite on arrive à démontrer que c'est. B1 : inaudible B2 : Ouais mais non, je vois pas, je vois pas où il est le problème d'arithmétique en fait dedans c'est ça le problème. B1 : Si parce que/ B3 : Ben justement une fois que tu arrives à cette équation là, ça devient un problème d'arithmétique puisque t'es obligé d'utiliser le théorème de Gauss, le théorème de Bézout alors qu'euh/ B2 : Oui mais ensuite/ B3 : Le tout c'est de démarrer. B2 : Ca donnera quoi, ça donnera quoi le résultat de l'utilisation des théorèmes si racine de 2 il est irrationnel ? Tu sais c'que ça va faire toi ? B1 : Théoriquement on sait pas que c'est irrationnel donc ça compte pas ce que tu sors, B3 : Ben oui mais si tu mets tout au carré tu pourras plus savoir. B2 : Ben si on aura quand même des racines de 2 si tu mets au carré. B3 : Ah non ! Parce que tu vas avoir B2 : Non ben si. Nous on le sait que c'est irrationnel mais faut le démontrer. B1 : On n'est pas censé le savoir. B2 : Oui on n'est pas censé le savoir, on n'est pas censé le savoir mais euh, le théorème de Gauss il va marcher avec les nombres entiers pas avec les, les nombres rationnels. B3 : Ben non ça marche B1 : Ouais mais moi je veux retrouver le machin qu'elle m'avait montré. -- B2 : Les nombres rationnels c'est quelle lettre ? B3 : C'est Q. -- V.Battie B1 : Eh, attends, -tends, -tends, -tends
, J'sais pas j'dis peut-être des bêtises. Mauvais souvenirs B1 : Ca rien à voir avec Bézout. B3 : J'te jure j'm'en souviens Ah ouais quand c'est égal à 1 c'est mieux parce que/ B2 : au plus bv égal 1. B1 : En tout cas j'pense pas que bézout il marche avec des nombres/ B3 : Non ça marche pas Résolution de ax plus by égal d. B1 : Attends mais il faut voir si/ B2 : Où ça ? B3 : inaudible juste après le théorème de Bézout. B2 : Ah ben voilà ! B3 : Fraction irréductible. B1 : Ca c'est très bien ça. B3 : Ppcm ? -- B3 : Ben, ça c'est exactement ce qu'on cherche. B1 : Ah ben non on est stupide. B3 : Sauf que là c'est/ B1 : C'est déjà irréductible. B3 : Ben irréductible euh, ben justement c'est la même chose, tu fais exactement c'qu'ils t'indiquent pour montrer que c'est un truc irréductible. Si tous les éléments montrent que c'est pas possible et bien ça veut dire que c'est pas rationnel, B1 : inaudible je sais que ça à l'air hyper facile mais c'est harchi dur. -- B1 : Qu'est-ce que je cherchais moi, ah oui. B3 : Ca c'est bien ça vas-y regarde. Lisons-le
, Pourquoi c'est 1 et 2 ; je comprends pas c'que tu veux dire. B2 : On peut pas trouver une solution particulière pour cette équation et on sait qu'euh. -- P Des solutions, des solutions y'en aurait une infinité
, B3 : A c'est égal à. B2 : A c'est égal à 2B. P tu vas pouvoir en tirer quelque chose pour grand A quand même. S'il s'écrit 2B tu vas pouvoir en tirer quelque chose sur grand A. B : inaudible P Non ! Surtout pas. B2 : Par identification on/ P Qu'est ce que ça veut dire s'il s'écrit deux B ? B3 : Ca veut dire, B2 : Ca veut dire qu'il est euh multiple de/ B3 : De 2
, Peut-être que tu pourras en tirer quelque chose sur petit a ? B3 : Ah ouais
, est-ce que je vais pouvoir en retirer sur petit b etc. (en s'éloignant) Essayez de voir ce qu'on faire dans ce sens là B2 : Grand A égal 2B Donc petit a égal racine de 2 B/b. Ouais mais c'est con parce qu'on revient à la racine B1 : Attention à ce qu'elle a dit, a² égal 2B/b. -- B3 : Ouais mais ça revient au même. B1 : On retombe sur le truc de tout à l'heure On l'avait pas ça. B2 : Mais si, ben tu changes on est parti de ça, donc forcément euh A, B1 : ça revient au même. B3 : Ah ouais B2 : Ben oui mais ça B3 : Hein ? B1 : Y'en a marre maintenant
, B2 : Faites, faites. B3 : Non mais sérieusement dis-moi parce que moi / B2 : Ca veut dire que 2 divise 1 et?on tourne en rond. Fin vas-y continue, fais ta démonstration B1 : 2 divise a pas 2 divise 1. B2 : Vas-y fais ta démonstration. B3 : J'vois pas d'où vient le 1. B1 : Pour l'instant on fait pas des démonstrations on lance des idées en vrac B1 : Allez larguez vos idées ! B3 : T'as dit A/a et B/b ils étaient premiers entre eux B1 : Forcément. De toute façon ça c'est logique B2 : Oui parce que c'est une fraction irréductible. -B1 : Fraction irréductible. B3 : Ah oui d'accord. Non mais attends. Et donc le 2 il y a bien un inaudible le 2 il faut en conclure pour le 2, non ? B1 : Le 2 mais qu'est ce qu'on en a foutre du 2 ? B3 : Ben justement. B1 : Ah, la question qu'elle est bonne. -- B1 : Pour l'instant on lance les idées comme ça après on fera un raisonnement avec. B2 : T'écris, t'écris en dessous a² égal 2b². B3 : Ben sachant que grand A c'est égal à/ B2 : Ouais inaudible. - B1 : Eh vous pouvez écrire vous aussi. -- B2 : A/a et B/b sont premiers entre eux. B1 : On peut même dire que A/a il est pair. B2 : Donc B/b il est forcément impair B1 : Pourquoi ? Ah ben oui. B2 : B/b est forcément impair parce que comme ça ils sont/ B3 : Pourquoi B/ b il serait forcément impair ? B1 : Parce que réfléchis deux nombres pairs sont jamais premiers entre eux, B2 : Et ben oui et ben il faut que 1 et 2 ils soient premiers entre eux. Et est-ce que 1 et 2 ils sont premiers entre eux ? B1 : Quels 1 et 2 ? B3 : Où tu vois 1 toi Lancez toutes vos idées. B3 : Théorème de Gauss B3 : Exact. Rires. B1 : Toi même tu l'aurais pas trouvé. B2 : Je ne l'aurais pas sorti aussi vite. -- B2 : Mais b² il est impair or un carré c'est positif, euh, c'est pair un carré. B1 : Ah non non non. B2 : Ah non 3 fois 3. Merde c'est vrai. B1 : Donc ça veut dire que B/b est impair. -- B3 : Donc A/a et B/b ils sont premiers entre eux. B1 : Ah on n'est plus très loin là. B3 : A/a et B/b sont premiers entre eux. Ca ça sert à rien ça continue en fait/ B1 : Attends on est plus très loin, ça j'en suis sûr on est plus très loin. -- B3 : Ben a est multiple de 2 si j'ai bien compris, j'écoute ce que vient de dire A1. B1 : Ben s'il est pair il est multiple de 2 forcément
, Ca veut dire
, est-ce qui vous arrive ? Voilà, voilà
, est ce qui se passe finalement ? Grand A est pair donc/ B2 : Son carré est pair. P Attends grand A c'est le carré
, est-ce qui se passe ? Donc tu as petit a qui est forcément pair petit b qui est forcément impair ben regarde c'que ça donne. Remplace petit a par euh si petit a est pair il va s'écrire comment ? B1 : 2a, B2 : 2q. B1 : Euh 2q
, C'est pas le même, c'est pas le même, B2 : Ah oui 2
, elle s'en rappelle pas Je l'ai fait en fait juste avant de faire les suites parce que je vous ai dit effectivement que le problème des suites c'était d'approcher les nombres qui n'étaient pas rationnels et donc on l'a fait, Vous me le rédigez correctement. B2 : C'est moi qui écrit
, Ah faut citer le théorème de Gauss en plus B2 : Ouais, donc alors. -- B2 : Non on n'a même pas besoin du théorème de Gauss B1 : Ben si pour dire qu'ils sont premiers B3 : Ah mais c'est après B1 : On le cite quand même. B2 : On en déduit que a? s'écrit. -- B1 : Ah mais nous au lieu de inaudible on n'a qu'à enchaîner avec racine de 3. B3 : Ouais ben ouais. B1 : Même raisonnement alors on commence B2 : Ouais mais le problème c'est pourquoi ils sont premiers entre eux grand a et grand b? B1 : Parce que A/a et 2 sont forcément premiers entre eux. B2 : Parce que petit a et petit b ils sont premiers entre eux mais petit a² et petit b² on n'en sait rien, B1 : B3 : Donc B1 : 3a², b² égal à 0. B3 : Tout à fait B3 : Ben si si a et b sont premiers entre eux leurs carrés sont forcément premiers entre eux aussi. B2 : 2 au carré 4 au carré, ils sont premiers entre eux ? 4 et 16 ils sont pas premiers entre eux. C'est pas bon. B1 : Ouais mais 2 et 4 ils sont pas premiers entre eux. B3 : Déjà 2 et 4 ils sont pas premiers entre eux. B2 : Bon alors
, Bon à trois on s'en sort pas mal quand même j'trouve. B1 : Ouais ben pas assez. -- B2 : Donc on pose pas de grand B cette fois, ni de grand a c'est pas la peine B3 : Ben non Même dans le premier apparemment ça en vaut pas tellement la peine. B2 : C'est pas grave. -- B3 : Ca leur sert à quoi au fait de nous enregistrer ? B2 : C'est pour elle j'sais pas. B1 : Y'a qu'à faire inaudible. B3 : C'est pour les archives B1 : Bon après on développe, paf, après on atterrit là B3 : Tout à fait B1 : Or a s'écrit 3q B3 : Tout à fait. B1 : Donc b ne peut pas s'écrire 3q aussi. B3 : Logique. B1 : vu qu'ils sont premiers entre eux. B3 : inaudible B1 : Parce que ça veut dire qu'ils ont comme diviseur commun 3, et ça c'est impossible car a et b ils sont premiers entre eux. B3 : a et b sont premiers entre eux, tout à fait. B1 : J'ai trouvé ! B3 : Mais bon maintenant il faut bien la rédiger la/ B1 : C'est sûr que si on regarde mon torchon inaudible. -- : Donc c'est quoi en fait exactement là ton texte ? On a dit que b² est égal à 3 q, or a²/ B1 : Nous pour l'instant on en est à là. B2 : C'est a qui s'écrit 3q ou c'est a² qui s'écrit 3q? B1 : C'est a² qui s'écrit 3q. -- B2 : Voilà, d'accord. B3 : Donc on disait. On dit que b² est égal à 3q², c'est ce qu'on montre c'est ça ? B1 : C'est carrément impossible, B3 : Et comme a² il est égal à 3b², on en déduit que, que 3 ne peut pas être leur diviseur commun car ils sont premiers entre eux. B1 : Voilà. B2 : Attends, -tends, -tends, recapepetez j'ai pas bien compris/ B3 : Mais à mon avis faudra mieux le/ B1 : Ben non c'est top. B3 : Le rédiger parce que/ B2 : Donc 3b² égal 3q, c'est ça ? B3 : Ben c'est-à-dire que. Donc quand tu vas faire les calculs/ -B2 : Ou b² égal q ? B1 : Ben a² ça fait pas 3 q. B3 : Ben si ! B1 : C'est 3q². B2 : Ben si t'as dit que a ça faisait 3q. B1 : 3q². Et ton carré tu l'as mangé
, c'est bon ce que vous me dites B2 : Madame, mais y'a un truc que je comprends pas, pourquoi vous m'avez dit que a² c'était 3q ? P C'est pas moi qui l'ai dit. B2 : Non, non c'est les deux. B1 : C'est a qui s'écrit 3 q. B2 : C'est a qui s'écrit 3q ? P Alors le fait que a², B3 : Ca fait 9, ca fait 9 q² alors. B1 : Ouais B2 : D'accord. B3 : Parce que 3b² = 9q²
, il va falloir que vous vous réexpliquiez un peu, parce que là, c'qu'elle a écrit c'est pas du tout c'que lui il me dit, B3 : Ouais. B1 : Mm
, C'est 3b² il va être égal à 9q² B2 : Non non non non mais c'est ça là, c'est ça là qu'est pas bon. Parce que regarde. B3 : Où ça ? B2 : Si 3 ne divise pas a² alors a² divise b² d'accord ça c'est le théorème de Gauss, B3 : Mm. B2 : Or a et b ils sont premiers entre eux, d'accord, donc 3 il divise a², c'est le théorème de Gauss ça. B3 : Ouais.(timidement)
, heure vous étiez capable de me le faire, donc écrivez-moi la structure du raisonnement en admettant effectivement ce passage là, et puis après on y reviendra, mais écrivez-moi la structure du raisonnement B2 : Donc c'est juste de passer de 9q² à/ P Oui, c'est juste mais il va falloir qu'on le démontre un jour ou l'autre, mais ça c'est on s'en occupera après de ça, on va laisser ce problème technique de côté et je voudrais avoir la structure du raisonnement. Qu'est-ce qui fait qu'effectivement c'est impossible d'écrire 3b² égal a² ? B3
, effectivement tant que, tant que vous aurez pas écrit ça, vous aurez pas les idées claires là-dessus. Alors ? on admet, voilà donc si j'ai ça ça veut dire a² divisible par 3
, explique-moi parce que je vois pas trop B1 : Ben quoi elle a demandé de calculer a², ben calculer a² c'est ce que j'ai fait non ? B3 : a² égal 2, a² égal 1, ah il faut conclure maintenant B1 : Ben ça se voit pas ? -- B1 : Tant que a n'est pas congru à 0, a² peut, si a il est pas congru à 0, ben a² il l'est pas non plus B2 : T'as trouvé ça pour les trois cas ? B1 : Qu'est ce que c'est que ça ? B2 : Là pour ça. B3 : Pourquoi a ? B2 : Parce que tu multiplies par a. -- B1 : Sauf que a il est congru à 1 et après tu tombes sur 1 or a² congru à deux?donc c'est faux ! B3 : Comment t'as fait pour trouver a² était congru à 2 quand a est égal à 1 ? V.Battie B1 : Tu prends un exemple quelconque et ça marche pas Tu prends 10 ça fait 20, le truc juste avant c'est divisible c'est congru à 2. -- B1 : Ouais c'est de la triche mais ça marche quand même. B2 : J'comprends pas ce que t'as fait. B3 : Bon explique-nous calmement. Quand t'es passé de là à là comment tu fais. B1 : Hummm, en fait j'ai triché ? Je fais n'importe quoi, 4. B3 : Ouais. B1 : 4² ça fait 16, Pourquoi pourquoi est-ce que vous écrivez là donc on trouve si a² est divisible par 3 B1 : Parce que B3 : Ouais. -- B2 : Moi je trouve 0, 1 et 4. B1 : Ouais 4 ouais bien joué. B2 : Ah non, donc 1. Ben 4 c'est/ B3 : Ouais j'suis d'accord que là a² ça fait 1, parce que ça fait 4. B2 : Voilà. B3 : Mais de là à là ? B1 : Là regarde/ B3 : Parce que a² ça va faire toujours 1 ? B1 : Exact. B2 : Regarde. B3 : Ca fait pas 2. B2 : a² hop, ensuite a² c'est congru à a, a il est congru à?/ B1 : Non c'est bon j'ai pigé, j'ai pigé. B2 : Bon à la rigueur tu mets tout au carré et puis voilà. B3 : Tu mets directement 1. B1 : Non non non parce qu'en fait, et rigolez-pas on a mis 10 au carré ça fait 20 !(en rigolant)
, Oui tu as raison mais j'avais pas bien saisi. -- B1 : Donc c'est réglé cette histoire
, B2 : Oui mais après non je vois pas c'qu'on fait après
, Battie B3 : Pourtant la première on se débrouillait B1 : On a bloqué sur 3 B3 : Eh ben que le seul cas possible pour que, pour que pour admettre que a est égal à 3q est?a congru à 0. B2 recopie ce que B3 lui dicte B3 : qui admet plutôt pour admettre ça fait pas très français B2 : Non je comprend pas pourquoi on est parti comme ça. B1 : Non mais pourquoi vous avez fait ça vous pour que a soit congru à 3 inaudible B2 : Ouais faut que a soit congru à 3 parce qu'on cherche ça. B3 : Ouais il faut que/ Non pourquoi pour que oui ben oui. B2 : Pour que/ B3 : Pour que a soit congru à 3 : Ben oui, ça fait 0, modulo 3 c'est pareil. B3 : Mais moi j'ai mis 3 parce que on comprend exactement le enfin bon. B2 : Et ensuite ? B3 : Euh pour que a² bon ben il n'existe qu'il n'y à qu'un seul cas possible c'est euh, Congru à 1. B2 : Congru à 1. Et ensuite comment on écrit pour conclure B2 : Non pour que a² soit congru à 3. B1 : Ouais. B3 : Oui oui oui. Pour que a² soit congru à 3 il n'y a qu'un cas possible de départ qui est a congru B1 : Ben tu mets qu'il faut que/ ?Il faut que a soit congru à 3. Je sais pas pourquoi vous vous prenez la tête comme ça. Vous allez pas chipoter pour un truc comme ça quand même. B3 : Il faut que a soit congru à 3. -- B3 : Voilà, parfait. -- B3 : Bon allez on l'appelle ? B1 : Peut-être. -- Madame ? B1 : Presque, pp.2-2
, B3 : On n'a pas parlé de suite ouais mais euh, on n'a pas parlé non plus d'ensemble d'entiers naturels, et euh d'ensemble vide Un plus petit élément que l'on. On a pas parlé de a0 Ah si on a fait grand a et grand b mais. B2 : Se rapproche de la 2 Car euh/ B3 : Car déjà on a. Tu l'as toujours la feuille ? B1 : On l'a fait par l'absurde. On est d'accord. B2 : Oui on l'a fait par l'absurde. B1 : Donc c'est la 2. B2 : Oui mais supposons par l'absurde, c'est pareil? -- B1 : On l'a fait par l'absurde. B2 : Oui d'accord mais euh pourquoi/ B1 : Tu dis que c'est une preuve par l'absurde. B2 : Car on a montré la parité. B3 : On a montré la parité. B1 : C'est un truc par l'absurde et puis c'est tout, B3 : Par contre un truc qu'on n'a pas utilisé c'est les congruences. B2 : Ouais. B3 : Et puis on n'a pas utilisé de a0 et b0. B2 : Non, c'est pas grave