Integral G structures of crystallines representations
G-structures entières de représentations cristallines
Résumé
Jean-Marc Fontaine showed that the tannakian category of crystalline representations of the group of Galois of a local field K is equivalent to that of the admissible filtered Phi-modules on K. Moreover, the Fontaine-Laffaille's theory, under certain restrictions, specifies this using a V_cris functor which induces an abelian equivalence between the strongly divisible lattices of the admissible filtered Phi-modules and the Galois-lattices of the corresponding Galois-representations.
The purpose of this thesis is to study the V_cris functor. Because of the restrictions related to the Fontaine-Laffaille's theory, the categories considered for the lattices are not stable by tensorial product. But we show that in spite of this problem, V_cris has good tannakian properties, which lead to interesting applications for the crystalline representations with values in the Zp-points of a smooth algebraic group over Zp.
The key point is the construction of a functor, which to a filtered Phi-module M (checking the conditions of Fountain-Laffaille) associates a (Phi, Gamma) - module of which the associated Galois-representation is fonctorially identified with V_cris (M), and who preserves the tensorial product (under certain conditions). This functor has a very strong link with the theory of the Wach modules, and that's why we can use at his best the equivalence of categories between the Galois-representations over Zp and the (Phi, Gamma) - modules.
The purpose of this thesis is to study the V_cris functor. Because of the restrictions related to the Fontaine-Laffaille's theory, the categories considered for the lattices are not stable by tensorial product. But we show that in spite of this problem, V_cris has good tannakian properties, which lead to interesting applications for the crystalline representations with values in the Zp-points of a smooth algebraic group over Zp.
The key point is the construction of a functor, which to a filtered Phi-module M (checking the conditions of Fountain-Laffaille) associates a (Phi, Gamma) - module of which the associated Galois-representation is fonctorially identified with V_cris (M), and who preserves the tensorial product (under certain conditions). This functor has a very strong link with the theory of the Wach modules, and that's why we can use at his best the equivalence of categories between the Galois-representations over Zp and the (Phi, Gamma) - modules.
Jean-Marc Fontaine a montré que la catégorie tannakienne des représentations cristallines du groupe de Galois d'un corps local K est équivalente à celle des Phi-modules filtrés sur K admissibles. De plus, la théorie de Fontaine-Laffaille, sous certaines restrictions, précise ceci à l'aide d'un foncteur V_cris qui induit une équivalence abélienne entre les réseaux fortement divisibles des Phi-modules filtrés admissibles et les réseaux galoisiens des représentations galoisiennes correspondantes.
Le but de cette thèse est d'étudier plus en détail le foncteur V_cris. A cause des restrictions liées à la théorie de Fontaine-Laffaille, les catégories considérées pour les réseaux ne sont pas stables par produit tensoriel. Mais nous montrons que malgré ce problème, V_cris a de bonnes propriétés tannakiennes, qui conduisent à des applications intéressantes pour les représentations cristallines à valeurs dans les points sur Zp d'un groupe algébrique lisse sur Zp.
Le point clé est la construction d'un foncteur, qui à un Phi-module filtré M (vérifiant les conditions de Fontaine-Laffaille) associe un (Phi,Gamma)-module dont la représentation galoisienne associée s'identifie fonctoriellement à V_cris(M), et qui préserve le produit tensoriel (sous certaines conditions). Ce foncteur a un lien très fort avec la théorie des modules de Wach, et c'est cela qui permet d'utiliser toute la force de l'équivalence de catégories entre les représentations galoisiennes sur Zp et les (Phi,Gamma)-modules.
Le but de cette thèse est d'étudier plus en détail le foncteur V_cris. A cause des restrictions liées à la théorie de Fontaine-Laffaille, les catégories considérées pour les réseaux ne sont pas stables par produit tensoriel. Mais nous montrons que malgré ce problème, V_cris a de bonnes propriétés tannakiennes, qui conduisent à des applications intéressantes pour les représentations cristallines à valeurs dans les points sur Zp d'un groupe algébrique lisse sur Zp.
Le point clé est la construction d'un foncteur, qui à un Phi-module filtré M (vérifiant les conditions de Fontaine-Laffaille) associe un (Phi,Gamma)-module dont la représentation galoisienne associée s'identifie fonctoriellement à V_cris(M), et qui préserve le produit tensoriel (sous certaines conditions). Ce foncteur a un lien très fort avec la théorie des modules de Wach, et c'est cela qui permet d'utiliser toute la force de l'équivalence de catégories entre les représentations galoisiennes sur Zp et les (Phi,Gamma)-modules.
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