, soit ? s,t (X) = X + {t} si s ? X, auquel cas t ? C 2 (s) ? C 2 (X) ? C(X) (ladernì ere inclusion est vérifiée car, X ´ etant commutative, on a X ? C(X)) et donc X + {t} ? [S] c ; ceci montre l'inclusion ? s,t
, (s) = {s}. La proposition 2.3.3 nous montre alors que les sous-espaces de [S] de la forme [{s}] = {?, {s}}, o` u s ? S, sont permutés entre eux par lesélémentsleséléments de Aut, Comme cesélémentsceséléments sont des automorphismes de [S], ils fixent ? (´ elément neutre de [S]) et permutent donc entre eux les singletons de S
, (s) contienne unélémentunélément t = s, et considérons l'endomorphisme ? s,t de [S] défini comme ci-dessus. C'est unélémentunélément de Aut, d'après la remarque 3.2.5b, qui n'appartient pasàpasà Aut(?), puisqu'il ne respecte pas le cardinal . On a donc Aut(?) Aut([S]
, Coxeterà angles droits
, Rappelons qu'il s'identifiè a
, Le théorème 2.3.6 nous montre en particulier que tout, donné, pour N ? N , par N ? N ? (? N ), o` u ?([Cel(N )]) = [Cel(N ? )]
, On vérifie que, pour tout, )). L'automorphisme ? permute donc les noyaux (de même cardinal) de (S, R) et l'on voit que l'´ elément ?(?) = ? N de Aut(N , R P , Card) est simplement donné par N ? ?(N )
, On note ? = ? ? le système de racines standard associéassociéà ?, c'est-` a-dire le sous-ensemble ? = {w(? i ) | w ? W, i ? I} du R-espace vectoriel V = ? i?I R? i , o` u l'action de W sur V est donnée, pour i, j ? I, par s i (? j ) = ? j + 2 cos( ? m i,j )? i . On dit que les racines ? i , i ? I, sont les racines simples de ?, et que la dimension de V (le cardinal de I) est le rang de ?. On note ? + (resp. ? ? ) l'ensemble des racinesàracinesà coordonnées toutes positives ou nulles (resp. toutes négatives ou nulles) dans la base (? i ) i?I . On a ? = ? + ? ? ? . On dispose d'une forme bilinéaire symétrique . , . sur V , invariante par W , donnée, pour i, j ? I, par ? i , ? j = ?2 cos( ? m i,j )
, ?) agit sur V par permutation de la base (? i ) i?I . On vérifie que cette action stabilise ?, ? + et ? ? , tout ? ? Aut(?) agissant sur ? via w(? i ) ? ?(w)(? ?(i) )
, alors le système de racines standard ? ? co¨?ncideco¨?ncide avec le système de racines cristallographique (fini) de graphe de Dynkin A n
, La proposition 11.2.1 montre que l'action de B + dans P(? + ), définie par le morphisme ? 3 ? ?
, On a s ? (?) = ? ?p?, donc {?, s ? (?)
, alors ?, ? = ?, ? + 2pq + q 2 ?, ?, et comme ?, ? = ?, ? = ?
, On conserve les notations des sections précédentes : ? est une matrice de Coxeter simplement lacée sans triangle, ? est le système de racines standard associéassociéà ? dans le R-espace vectoriel V , et ?
, sur V est clairement invariante par Aut(?) (cf. section 10.1)
, ?) agissent sur ? + , donc agissent sur H par permutation de la base. Si G est un sous-groupe de Aut(?), la proposition 11.3.2 ci-dessous montre (grâcè a la remarque 11.3.1) que, via ? (resp, B + ) G (resp. B G ) stabilise H G
, Alors : 1. ?(? s i (e ? )) = ? s ?(i) (e ?(?) ), 2. T (?(i), ?(?)) = T (i, ?)
, Dig03] et dans la section 11.2. On peut vérifier que, si O est une orbite de I sous ? et ? ? une orbite de ? + sous ?, les coefficients suivant la base
, Il semble (mais nous n'avons pas de preuve rédigée) que, pour toute orbite O de I sous ? et tous, Considérons alors le morphisme ? 1 ?
, une nouvelle preuve de l'injectivité de la représentation ? ? , dans tous les cas sauf celui de la symétrie de A 2n, qui fait intervenir le système de racines non réduit BC n
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