Definitions and analysis of stabilities for nonlinear delayed systems
Définitions et analyse de stabilités pour les systèmes à retard non linéaires
Résumé
The focus of this work is the notion of stability for nonlinear time-delay systems using the Lyapunov time-
domain approach. Five different chapters are devoted to stability properties. After a general introduction,
the second chapter proposes an unconventional approach — based on Lyapunov-Krasovskii functionals —
to the problem of input-output stability. The descriptor form is used to guaranty this stability by solving
linear matricial inequalities (LMI). The next chapter, finite-time stability, is, as far we know, the first work
on this topic for time-delay systems. Specifically several results are given for the stabilization problem on
linear systems with delayed input. The first examples of finite-time stable delayed systems are also given.
The fourth chapter is devoted to the input-to-state stability, which is generalized to the delay case. Sufficient conditions are given to check this stability using Lyapunov-Krasovskii methodology. The interest
of the study based on perturbation problems is highlighted and some interesting perspectives for further research are given. The last part of the work is devoted to the study of practical stability used in solving
the so-called chattering problem in sliding mode control. As the control is rapidly switching, chattering may
appear on the state space — for instance in practical applications when the control dynamics can no longer
be neglected. The chattering problem is carefully analyzed and many simulations are given to demonstrate the advantages of the proposed solution.
domain approach. Five different chapters are devoted to stability properties. After a general introduction,
the second chapter proposes an unconventional approach — based on Lyapunov-Krasovskii functionals —
to the problem of input-output stability. The descriptor form is used to guaranty this stability by solving
linear matricial inequalities (LMI). The next chapter, finite-time stability, is, as far we know, the first work
on this topic for time-delay systems. Specifically several results are given for the stabilization problem on
linear systems with delayed input. The first examples of finite-time stable delayed systems are also given.
The fourth chapter is devoted to the input-to-state stability, which is generalized to the delay case. Sufficient conditions are given to check this stability using Lyapunov-Krasovskii methodology. The interest
of the study based on perturbation problems is highlighted and some interesting perspectives for further research are given. The last part of the work is devoted to the study of practical stability used in solving
the so-called chattering problem in sliding mode control. As the control is rapidly switching, chattering may
appear on the state space — for instance in practical applications when the control dynamics can no longer
be neglected. The chattering problem is carefully analyzed and many simulations are given to demonstrate the advantages of the proposed solution.
Ce mémoire est dédié à l'étude de la stabilité des systèmes à retards via les méthodes temporelles de Lyapunov. Au-delà des formes usuelles de stabilité, nous étudions quatre autres propriétés : stabilité entrée-sortie, stabilité en temps fini, stabilité entrée-état et stabilité pratique. Après une large introduction, le second chapitre se focalise sur la stabilité entrée-sortie des systèmes linéaires à retards variables par une approche originale se basant sur des fonctionnelles de Lyapunov-Krasovskii. La forme descripteur est utilisée pour obtenir des conditions en termes d'inégalités matricielles. Dans le troisième chapitre, la stabilité en temps fini caractérise un équilibre asymptotiquement stable qui, de plus, est atteint en temps fini. Plusieurs résultats sont proposés concernant la stabilité et la stabilisation sur des systèmes non-linéaires et linéaires respectivement. Les premiers exemples de systèmes stables en temps fini sont donnés. Ensuite, la stabilité entrée-état est analysée dans le cadre des systèmes non linéaires soumis à des perturbations larges. Cette nouvelle notion est étendue au cas des systèmes retardés et plusieurs résultats sont proposés via des fonctionnelles de Krasovskii. Le dernier chapitre se consacre à l'étude de la stabilité pratique appliquée au problème de la réticence dans la commande par modes glissants. En présence de retards, cette technique de type “grands gains” peut provoquer une oscillation importante sur l'état du système — notamment lorsque la dynamique des actionneurs ne peut être négligée. Le phénomène de réticence est analysé formellement et de nombreuses simulations permettent de confirmer les avantages de la méthode proposée.