On some methods of resolution for elliptic PDEs with constraint on $W^{1, p}$ and $BV$.
Quelques méthodes de résolution d'équations aux dérivées partielles elliptiques avec contrainte sur les espaces $W^{1, p}$ et $BV$.
Résumé
This thesis deals with some singular and degenerated partial differential equations with constraint. We also consider some equations, called penalized equations, where the constraint is replaced with a term tending asymptotically towards the constraint.
This allows us to obtain a more flexible numerical approximation of the initial partial differential equation with constraint.
The first part of this thesis, which deals with the approximation of the first eigenvalue of the 1-Laplacian operator, has been accepted for publication in the journal Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse.
In the second part, our results about the obstacle problem on $W_p^{0, 1}$, $p> 1$ , generalize Adams and Lenhart's results obtained for the case $p =2$.
Namely, we prove existence and uniqueness of a solution of the considered obstacle problem.
The last part, which is the subject of a forthcoming paper, deals with an obstacle problem on $W_1^{0,1}$, which leads us to introduce the space $BV$.
The employed methods come from variational calculus, the theory of measured derivatives functions, vague topology, measure tight topology, convexity, duality theory, approximation and so on.
This allows us to obtain a more flexible numerical approximation of the initial partial differential equation with constraint.
The first part of this thesis, which deals with the approximation of the first eigenvalue of the 1-Laplacian operator, has been accepted for publication in the journal Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse.
In the second part, our results about the obstacle problem on $W_p^{0, 1}$, $p> 1$ , generalize Adams and Lenhart's results obtained for the case $p =2$.
Namely, we prove existence and uniqueness of a solution of the considered obstacle problem.
The last part, which is the subject of a forthcoming paper, deals with an obstacle problem on $W_1^{0,1}$, which leads us to introduce the space $BV$.
The employed methods come from variational calculus, the theory of measured derivatives functions, vague topology, measure tight topology, convexity, duality theory, approximation and so on.
Cette thèse a pour sujet l'étude de quelques équations aux dérivées partielles singulières ou dégénérées, sous contraintes. Sont aussi traitées des équations dites pénalisées qui remplacent la contrainte par un terme qui asymptotiquement tend vers la contrainte, ceci permettant une approximation numériquement plus souple de l'équation aux dérivées partielles avec contrainte.
La première partie de cette thèse a fait l'objet d'un article accepté pour publication aux Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse.
Elle traite de l'approximation de la première valeur propre du 1-Laplacien.
Dans la deuxième partie, les résultats obtenus pour un problème d'obstacle sur $W_p^{0, 1}$, $p> 1$ généralisent le cas $p=2$, traité par Adams et Lenhart. On obtient donc l'existence et l'unicité d'une solution au problème posé.
La dernière partie qui fait l'objet d'un article en préparation, traite un problème d'obstacle sur $W_1^{0, 1}$, ce qui nécessite l'introduction de l'espace $BV$.
Les méthodes employées sont celles du calcul des variations, la théorie des fonctions à dérivées mesurées, la topologie vague, la topologie étroite des mesures, la convexité, la théorie de la dualité, l'approximation....
La première partie de cette thèse a fait l'objet d'un article accepté pour publication aux Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse.
Elle traite de l'approximation de la première valeur propre du 1-Laplacien.
Dans la deuxième partie, les résultats obtenus pour un problème d'obstacle sur $W_p^{0, 1}$, $p> 1$ généralisent le cas $p=2$, traité par Adams et Lenhart. On obtient donc l'existence et l'unicité d'une solution au problème posé.
La dernière partie qui fait l'objet d'un article en préparation, traite un problème d'obstacle sur $W_1^{0, 1}$, ce qui nécessite l'introduction de l'espace $BV$.
Les méthodes employées sont celles du calcul des variations, la théorie des fonctions à dérivées mesurées, la topologie vague, la topologie étroite des mesures, la convexité, la théorie de la dualité, l'approximation....
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