GENERIC STABILITY OF NEARLY INTEGRABLE HAMILTONIAN SYSTEMS
STABILITE GENERIQUE DES SYSTEMES HAMILTONIENS QUASI-INTEGRABLES
Résumé
The study of stability and unstability of nearly-integrable Hamiltonian systems is an old and difficult problem in dynamical systems.
There are two kind of theorems :
i) Results of stability over infinite times provided by K.A.M. theory which are valid over a Cantor set of big measure but we have almost no information on the other trajectories and even a strong unstability can occur.
ii) Results of stability for open sets of initial values but only valid over an exponentially long time with respect to the size of the perturbation.
This second kind of results was introduced by N.N. Nekhorochev who proved in 1977 a global stability theorem over exponentially long times provided that the unperturbed (integrable) Hamiltonian meets some generic transversality condition known as steepness. Especially, the convex functions are steep.
The study of this notion of steepness and its consequences has almost not been resumed since Nekhorochev original work despite the genericity of this class of functions among differentiable functions and various physical examples where the integrable Hamiltonian is steep but not convex.
Here, we give a proof of Nekhorochev's theorem which is significantly simplified with respect to the original one. This allows to derive accurate estimates on the times of stability which are essentially optimal in the convex case.
Then, using theorems of real subanalytic geometry, we derive a geometric criterion for steepness : a real valued function which is real analytic around a compact set is steep if and only if its restriction to any affine subspace admits only isolated critical points. This is an extension of a previous result of Y. Ilyashenko in the holomorphic case. Our study is based on theorems of real subanalytic geometry (curve selection lemma and Lojaciewicz's exponents). This also allows to find a necessary condition for exponential stability which is close to steepness. We also give methods to compute explicitly the constants involved in this kind of theorems.
Finally, we prove a theorem of exponential stability for nearly integrable Hamiltonian systems with a non degeneracy condition on the unperturbed hamiltonian which is strictly weaker than steepness. The point in this refinement lies in the fact that it allows to exhibit a generic class of real analytic integrable Hamiltonians which are exponentially stable with fixed exponents.
Genericity is proved in the sense of measure since we exhibit a prevalent set of integrable Hamiltonian which satisfy the latter property. This is obtained by an application of a quantitative Sard theorem given by Yomdin.
There are two kind of theorems :
i) Results of stability over infinite times provided by K.A.M. theory which are valid over a Cantor set of big measure but we have almost no information on the other trajectories and even a strong unstability can occur.
ii) Results of stability for open sets of initial values but only valid over an exponentially long time with respect to the size of the perturbation.
This second kind of results was introduced by N.N. Nekhorochev who proved in 1977 a global stability theorem over exponentially long times provided that the unperturbed (integrable) Hamiltonian meets some generic transversality condition known as steepness. Especially, the convex functions are steep.
The study of this notion of steepness and its consequences has almost not been resumed since Nekhorochev original work despite the genericity of this class of functions among differentiable functions and various physical examples where the integrable Hamiltonian is steep but not convex.
Here, we give a proof of Nekhorochev's theorem which is significantly simplified with respect to the original one. This allows to derive accurate estimates on the times of stability which are essentially optimal in the convex case.
Then, using theorems of real subanalytic geometry, we derive a geometric criterion for steepness : a real valued function which is real analytic around a compact set is steep if and only if its restriction to any affine subspace admits only isolated critical points. This is an extension of a previous result of Y. Ilyashenko in the holomorphic case. Our study is based on theorems of real subanalytic geometry (curve selection lemma and Lojaciewicz's exponents). This also allows to find a necessary condition for exponential stability which is close to steepness. We also give methods to compute explicitly the constants involved in this kind of theorems.
Finally, we prove a theorem of exponential stability for nearly integrable Hamiltonian systems with a non degeneracy condition on the unperturbed hamiltonian which is strictly weaker than steepness. The point in this refinement lies in the fact that it allows to exhibit a generic class of real analytic integrable Hamiltonians which are exponentially stable with fixed exponents.
Genericity is proved in the sense of measure since we exhibit a prevalent set of integrable Hamiltonian which satisfy the latter property. This is obtained by an application of a quantitative Sard theorem given by Yomdin.
L'étude de la stabilité et de l'instabilité des systèmes hamiltoniens proches de systèmes intégrables est un problème ancien et difficile en systèmes dynamiques.
Il y a deux types de théorèmes :
i) Les résultats of stabilité sur des temps infinis obtenus avec la théorie K.A.M. qui sont valables sur un ensemble de Cantor de grande mesure mais on a très peu d'informations sur les autres trajectoires et même une instabilité importante peut se développer.
ii) D'autre part, des résultats de stabilité sur des ensembles ouverts mais seulement sur un temps exponentiellement long par rapport à la taille de la perturbation.
Ce deuxième type de résultats est du à N.N. Nekhorochev qui a établi en 1977 un théorème de stabilité global en temps exponentiellement long dans le cas où le hamiltonien non perturbé (intégrable) est escarpé. C'est à dire s'il vérifie certaines conditions de transversalité qui sont génériquement satisfaites par les fonctions infiniment différentiables. Notamment, les fonctions convexes sont escarpées. L'étude de cette notion et ses conséquences n'a pas été reprise depuis la démonstration originale de Nekhorochev malgrés la densité de la classe des fonctions escarpées et différents exemples issus de la physique où le hamiltonien intégrable considéré est escarpé mais pas convexe.
Dans ce mémoire, on présente tout d'abord une démonstration notablement simplifiée du théorème de Nekhorochev. Ceci permet d'obtenir des estimations raffinées sur les temps de stabilité qui sont essentiellement optimales dans le cas convexe.
D'autre part, Y. Ilyashenko a donné une caractérisation géométrique des fonctions escarpées dans le cas holomorphe. On reprend cette étude à l'aide d'outils de géométrie sous analytique réelle (lemme de sélection de courbe et exposants de Lojaciewicz). Ceci permet d'étendre le résultat d'Ilyashenko au cas réel et de montrer clairement que les hypothèses d'escarpement sont presques minimales pour assurer la stabilité effective des systèmes hamiltoniens proches d'un système intégrable. On en déduit aussi des méthodes de calcul explicites des constantes intervenant dans ce type de théorème.
Enfin, on montre un théorème de stabilité en temps exponentiellement long pour des systèmes hamiltoniens presques-intégrables avec une condition de non-dégénérescence sur le hamiltonien non perturbé strictement plus faible que la raideur. L'intérêt de ce raffinement vient du fait qu'il permet d'établir un résultat de stabilité générique avec des exposants fixes. Il s'agit de généricité au sens de la mesure (ensembles prévalents suivant la terminologie de Kaloshin) parmi les fonctions réelle-analytiques. Ce résultat est obtenu grâce à l'application d'une version quantitative du théorème de Sard due à Yomdin.
Il y a deux types de théorèmes :
i) Les résultats of stabilité sur des temps infinis obtenus avec la théorie K.A.M. qui sont valables sur un ensemble de Cantor de grande mesure mais on a très peu d'informations sur les autres trajectoires et même une instabilité importante peut se développer.
ii) D'autre part, des résultats de stabilité sur des ensembles ouverts mais seulement sur un temps exponentiellement long par rapport à la taille de la perturbation.
Ce deuxième type de résultats est du à N.N. Nekhorochev qui a établi en 1977 un théorème de stabilité global en temps exponentiellement long dans le cas où le hamiltonien non perturbé (intégrable) est escarpé. C'est à dire s'il vérifie certaines conditions de transversalité qui sont génériquement satisfaites par les fonctions infiniment différentiables. Notamment, les fonctions convexes sont escarpées. L'étude de cette notion et ses conséquences n'a pas été reprise depuis la démonstration originale de Nekhorochev malgrés la densité de la classe des fonctions escarpées et différents exemples issus de la physique où le hamiltonien intégrable considéré est escarpé mais pas convexe.
Dans ce mémoire, on présente tout d'abord une démonstration notablement simplifiée du théorème de Nekhorochev. Ceci permet d'obtenir des estimations raffinées sur les temps de stabilité qui sont essentiellement optimales dans le cas convexe.
D'autre part, Y. Ilyashenko a donné une caractérisation géométrique des fonctions escarpées dans le cas holomorphe. On reprend cette étude à l'aide d'outils de géométrie sous analytique réelle (lemme de sélection de courbe et exposants de Lojaciewicz). Ceci permet d'étendre le résultat d'Ilyashenko au cas réel et de montrer clairement que les hypothèses d'escarpement sont presques minimales pour assurer la stabilité effective des systèmes hamiltoniens proches d'un système intégrable. On en déduit aussi des méthodes de calcul explicites des constantes intervenant dans ce type de théorème.
Enfin, on montre un théorème de stabilité en temps exponentiellement long pour des systèmes hamiltoniens presques-intégrables avec une condition de non-dégénérescence sur le hamiltonien non perturbé strictement plus faible que la raideur. L'intérêt de ce raffinement vient du fait qu'il permet d'établir un résultat de stabilité générique avec des exposants fixes. Il s'agit de généricité au sens de la mesure (ensembles prévalents suivant la terminologie de Kaloshin) parmi les fonctions réelle-analytiques. Ce résultat est obtenu grâce à l'application d'une version quantitative du théorème de Sard due à Yomdin.
Mots clés
Hamiltonian systems -- Stability -- Perturbations -- Normal forms -- Subanalytic Geometry <br />-- Curve Selection Lemma -- Lojasiewicz's inequalities -- Prevalence -- Quantitative Morse-Sard's theory.
Hamiltonian systems -- Stability -- Perturbations -- Normal forms -- Subanalytic Geometry <br />-- Curve Selection Lemma -- Lojasiewicz's inequalities -- Prevalence -- Quantitative Morse-Sard's theory
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Mathématiques [math]
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