0 > + < y ? ?E, 0 > par ? H,3 n'est pas triviale et donc < y + ?(1 ? E), 0 > + < y ? ?E, pp.0-2 ,
En particulier, pour tout m ? N impair, tout n ? N et tout point de 2 n m-torsion T , l'image ? H (T ) est l'image du point de 2 n -torsion mT par ? H . Ainsi, l'image de la torsion de Jac(H)(k(x)) par ? H est l'image de la torsion 2-primaire ,
ou, de façonfaçonéquivalente, par les images ,
hyperelliptique sur k(x) d'´ equation affine H : z 2 = (y + ?(1 ? E))(y ? ?E)(y + ?E) ,
(x)) est l'image par ? H de la 2-torsion de Jac(H)(k(x)) Elle est donc engendrée par la classe, + C) 2 ? 4B], [(1 + C) 2 ? 4B], [1] ,
+ C) 2 ? 4B ne sont pas des carrés dans k(x) Par conséquent, ces quatre polynômes sont non nuls. Puisque C nest pas un carré dans k(x), le polynôme 1 ? C est non nul ,
après la proposition 1.4.12, la 2-torsion de Jac(H)(k(x)) est engendrée par les points < y + ?(1 + C) ,
/k(x) ×2 . D'après la proposition 1.5.9, leur produit est l'´ elément trivial de k(x) × /k(x) ×2 . En particulier, l'image ? H (< y + ?(1 + C), 0 >) estégalèestégalè a la classe, + C) 2 ? 4B], [1]) ,
En utilisant la décomposition en facteurs premiers dans k(x), nous en déduisons que B ? C et B(B ? C) ne sont pas des carrés dans k(x) Ainsi, d'après la proposition 2.3.2.1, B ? C n'est pas un carré dans K 2 . Cela signifie que l'image par ? H,2 du point < y 2 ? 4? 2 C, 0 > n'est pas triviale, Par conséquent, le point < y 2 ? 4? 2 C, 0 >=< y + ?(1 + C), 0 > + < y 2 ? 4? 2 B, 0 > n'est pas un double dans Jac(H)(k(x)) ,
(mT ) En particulier, pour tout m ? N impair, tout n ? N et tout point de 2 n m-torsion T , l'image ? H (T ) est l'image du point de 2 n -torsion mT par ? H . Ainsi, l'image de la torsion de Jac(H)(k(x)) par ? H est l'image de la torsion 2-primaire ,
Nous utilisons la proposition 4.1.3. Cela, nous amènè a considérer les six polynômes suivants : * ? 1,1 = N K 1 /k(x) (1) = 1, * les polynômes 1 ? C et (1 + C) 2 ? 4B sont premiers entre eux ,
Nous supposons que * la valuation v p (C) est impaire ,
Soit div(u, v) ? Div 0 (k(H)) un diviseur semi-réduit avec u premieràpremierà L 3 ,
?1) deg(u) u ? ? 3 , c'est-` a-dire que, ?1) deg(u) u = ? H,3 (Cl(div(u, v))) ,
Nous supposons que Bibliographie ,
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