Computations in jacobian varieties of algebraic curves,
applications to real algebraic geometry.
Calculs dans les jacobiennes de courbes algébriques, applications en géométrie algébrique réelle.
Résumé
This thesis deals with a quantitative aspect of Hilbert's seventeenth problem: producing a collection of real polynomials in two variables of degree 8 in one variable which are positive but are not a sum of three squares of rational fractions.
As explained by Huisman and Mahé, a given monic squarefree positive polynomial in two variables x and y of degree in y divisible by 4 is a sum of three squares of rational fractions if and only if the jacobian variety of some hyperelliptic curve (associated to P) has an ”antineutral” point.
Using this criterium, we follow a method developed by Cassels, Ellison and Pfister to solve our problem : at first we show that the Mordell-Weil's rank of the jacobian variety J associated to some polynomial is zero (this step is done by doing a 2-descent), and then we check that the jacobian variety J has no antineutral torsion point.
As explained by Huisman and Mahé, a given monic squarefree positive polynomial in two variables x and y of degree in y divisible by 4 is a sum of three squares of rational fractions if and only if the jacobian variety of some hyperelliptic curve (associated to P) has an ”antineutral” point.
Using this criterium, we follow a method developed by Cassels, Ellison and Pfister to solve our problem : at first we show that the Mordell-Weil's rank of the jacobian variety J associated to some polynomial is zero (this step is done by doing a 2-descent), and then we check that the jacobian variety J has no antineutral torsion point.
Nous nous intéressons à un aspect quantitatif du dix-septième problème de Hilbert : construire une famille de polynômes en deux variables, à coefficients réels, de degré 8 en l'une des deux variables qui sont positifs mais ne sont pas somme de trois carrés de fractions rationnelles.
Comme expliqué par Huisman et Mahé, un polynôme donné P en deux variables à coefficients réels, totalement positif, unitaire, sans facteur carré et de degré multiple de 4 en l'une des variables est une somme de trois carrés de fractions rationnelles si et seulement si la jacobienne d'une certaine courbe hyperelliptique (associée à P) possède un point ”antineutre”.
Grâce à ce critère, et en suivant une méthode de Cassels, Ellison et Pfister, nous résolvons notre problème : à l'aide d'une 2-descente, nous montrons que la jacobienne associée à un certain polynôme positif est de rang de Mordell-Weil nul, puis nous vérifions que cette jacobienne n'a aucun point de torsion antineutre.
Comme expliqué par Huisman et Mahé, un polynôme donné P en deux variables à coefficients réels, totalement positif, unitaire, sans facteur carré et de degré multiple de 4 en l'une des variables est une somme de trois carrés de fractions rationnelles si et seulement si la jacobienne d'une certaine courbe hyperelliptique (associée à P) possède un point ”antineutre”.
Grâce à ce critère, et en suivant une méthode de Cassels, Ellison et Pfister, nous résolvons notre problème : à l'aide d'une 2-descente, nous montrons que la jacobienne associée à un certain polynôme positif est de rang de Mordell-Weil nul, puis nous vérifions que cette jacobienne n'a aucun point de torsion antineutre.
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