Calculs dans les jacobiennes de courbes algébriques, applications en géométrie algébrique réelle.

Résumé : Nous nous intéressons à un aspect quantitatif du dix-septième problème de Hilbert : construire une famille de polynômes en deux variables, à coefficients réels, de degré 8 en l'une des deux variables qui sont positifs mais ne sont pas somme de trois carrés de fractions rationnelles.

Comme expliqué par Huisman et Mahé, un polynôme donné P en deux variables à coefficients réels, totalement positif, unitaire, sans facteur carré et de degré multiple de 4 en l'une des variables est une somme de trois carrés de fractions rationnelles si et seulement si la jacobienne d'une certaine courbe hyperelliptique (associée à P) possède un point ”antineutre”.

Grâce à ce critère, et en suivant une méthode de Cassels, Ellison et Pfister, nous résolvons notre problème : à l'aide d'une 2-descente, nous montrons que la jacobienne associée à un certain polynôme positif est de rang de Mordell-Weil nul, puis nous vérifions que cette jacobienne n'a aucun point de torsion antineutre.
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Mathématiques [math]. Université Rennes 1, 2006. Français
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Contributeur : Valery Mahe <>
Soumis le : vendredi 12 janvier 2007 - 15:42:34
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Document(s) archivé(s) le : vendredi 21 septembre 2012 - 10:05:43

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Valéry Mahé. Calculs dans les jacobiennes de courbes algébriques, applications en géométrie algébrique réelle.. Mathématiques [math]. Université Rennes 1, 2006. Français. 〈tel-00124040〉

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