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Habilitation à diriger des recherches

Modèles Continus. Calculs. Algorithmique Distribuée.

Olivier Bournez 1
1 PROTHEO - Constraints, automatic deduction and software properties proofs
INRIA Lorraine, LORIA - Laboratoire Lorrain de Recherche en Informatique et ses Applications
Résumé : Les systèmes dynamiques continus permettent de modéliser de nombreux
systèmes physiques, biologiques, ou issus de l'informatique
distribuée. Nous nous intéressons à leur pouvoir de modélisation, et à
leurs propriétés en tant que systèmes de calculs, et plus généralement
aux propriétés calculatoires des modèles continus.

Les deux premiers chapitres ne visent pas à produire des résultats
nouveaux, mais à motiver ce travail, et à le mettre en
perspectives. Le chapitre 3 constitue un survol. Les chapitres 4, 5 et
l'annexe A présentent un panorama de quelques-uns de nos résultats
personnels en relations avec cette problématique.

Plus précisément, le chapitre 1 présente les systèmes dynamiques, avec
un point de vue classique et mathématique. Il vise d'une part à
souligner la richesse, et la subtilité des comportements possibles des
systèmes dynamiques continus, et d'autre part à mettre en évidence que
différents dispositifs sont intrinsèquement continus, et utilisables
comme tels pour réaliser des calculs. En outre nous insistons sur la
puissance de modélisation d'une classe de systèmes dynamiques, que
nous nommons les problèmes de Cauchy polynomiaux.

Les exemples du chapitre 2, issus de la bioinformatique, des modèles
de la biologie des populations, de la virologie biologique et de la
virologie informatique, et de l'algorithmique distribuée, se
distinguent de ceux du chapitre 1 par le fait qu'ils mettent
explicitement en jeu une certaine notion de concurrence entre agents.
Nous présentons la théorie des jeux, et ses modèles, en nous
focalisant sur certains de ses modèles du dynamisme. Ces modèles
continus deviennent naturels pour parler d'algorithmique distribuée,
en particulier dès que l'on a affaire à des systèmes de grandes
tailles, ou dont on ne contrôle pas les interactions. Nous pointons
quelques modèles de l'algorithmique distribuée qui intègrent ces
considérations, et le potentiel de l'utilisation des systèmes continus
pour l'algorithmique distribuée.

Le chapitre 3 constitue un survol de la théorie des calculs pour les
modèles à temps continu. La puissance des modèles de calculs à temps
et espace discrets est relativement bien comprise grâce à la thèse de
Church, qui postule que tous les modèles raisonnables et suffisamment
puissants ont la même puissance, celle des machines de Turing. On peut
aussi considérer des modèles où le temps est continu. Certaines
grandes classes de modèles ont été considérées dans la
littérature. Nous les reprenons dans ce chapitre, en présentant un
panorama de ce qui est connu sur leurs propriétés calculatoires.

Le chapitre 4 présente un résumé de quelques-uns de nos résultats
personnels à propos de la comparaison de la puissance de plusieurs
modèles à temps continu, en relations avec la thèse de Emmanuel
Hainry. Claude Shannon a introduit en 1941 le GPAC comme un modèle des
dispositifs de calculs analogiques. Les résultats de Shannon ont
longtemps été utilisés pour argumenter que ce modèle était plus faible
que l'analyse récursive, et donc que les machines analogiques sont
prouvablement plus faibles que les machines digitales. Avec Manuel
Campagnolo, Daniel Graça, et Emmanuel Hainry, nous avons prouvé
récemment que le GPAC et l'analyse récursive calculent en fait les
mêmes fonctions. Ce résultat prend toute sa perspective si l'on
comprend que les fonctions calculées par le GPAC correspondent aux
problèmes de Cauchy polynomiaux, dont le pouvoir de modélisation est
discuté dans le chapitre 1.

D'autre part, nous avons montré qu'il était possible de caractériser
algébriquement les fonctions élémentairement calculables et
calculables au sens de l'analyse récursive. Cela signifie d'une part
qu'il est possible de les caractériser en termes d'une sous-classe des
fonctions R-récursives à la Moore, ce qui étend les résultats de
Campagnolo, Costa, Moore, de la calculabilité discrète à l'analyse
récursive, mais aussi d'autre part, qu'il est possible de caractériser
ces fonctions de façon purement continue, par l'analyse, sans
référence à de la calculabilité.

Dans le chapitre 5, nous reprenons certains de nos résultats à propos
de caractérisations logiques de classes de complexité dans le modèle
de Blum Shub et Smale, en relations avec la thèse de Paulin Jacobé de
Naurois. Le modèle de Blum Shub et Smale constitue un modèle de calcul
à temps discret et à espace continu. Le modèle, défini initialement
pour parler de complexité algébrique de problèmes sur le corps des
réels, ou plus généralement sur un anneau, a été par la suite été
étendu par Poizat en un modèle de calculs sur une structure logique
arbitraire. Avec Paulin Jacobé de Naurois, Felipe Cucker et Jean-Yves
Marion, nous avons caractérisé syntaxiquement les classes de
complexité majeures dans ce modèle sur une structure arbitraire, à la
Bellantoni et Cook 1992.

Le chapitre 6 est consacré à une conclusion, dans laquelle nous
reprenons plusieurs questions et perspectives qui nous semblent
intéressantes.

Dans l'annexe A, nous discutons un point de vue sur les
hypercalculs. La question de l'existence de systèmes capables de
réaliser des hypercalculs, c'est-à-dire d'effectuer des calculs
exploitables qui ne seraient pas réalisables par aucune machine de
Turing, fait encore couler de l'encre et des controverses. Nous avons
été invité à exprimer notre point de vue dans un numéro spécial sur le
sujet, que nous reprenons en annexe A. Nous y rappelons plusieurs
mauvaises compréhensions fréquentes de la thèse de Church, et nous
présentons un panorama de plusieurs classes de systèmes mathématiques,
avec la caractérisation de leur puissance.
Document type :
Habilitation à diriger des recherches
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https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00123104
Contributor : Olivier Bournez <>
Submitted on : Monday, January 8, 2007 - 1:02:10 PM
Last modification on : Friday, February 26, 2021 - 3:28:06 PM
Long-term archiving on: : Friday, September 21, 2012 - 10:00:10 AM

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  • HAL Id : tel-00123104, version 1

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Olivier Bournez. Modèles Continus. Calculs. Algorithmique Distribuée.. Autre [cs.OH]. Institut National Polytechnique de Lorraine - INPL, 2006. ⟨tel-00123104⟩

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