A few Reflection-Transmission problems in dispersive weakly nonlinear Optics.
Quelques problemes de Reflexion-Transmission en optique
dispersive faiblement non linaire.
Résumé
This thesis is devoted to the mathematical study of the nonlinear
propagation of high frequency waves in homogeneous media made of two
materials with constant refractive index and split up by a straight interface.
The interface requires to describe the reflexion-transmission
phenomena at the crossing of the discontinuity. The approach is the
Geometric Optics.
The studied tyical example is the Maxwell-Lorentz system with added
various equations which decribe each media polarization.
The novelty in this work comes from the dispersive aspect of the
equations and the consideration of the exact boundary equations.
In this frame the dispersion relation, or the characteristic variety is
not homogeneous, which implies that the group velocities do depend on
the size of the frequencies, not only on their direction.
For boundary value problem, this has the consequence that new
characteristic phases coming from the nonlinear intercations between
the existing phases and the boundary are created.
The first chapter sets the problem in an historical and mathematical
context. There is also a summary of the three next chapters.
The second chapter which is central deals with the Geometric Optics
analysis for the transmission problem using assymptotic expansion of
any order. There is a precise analysis of the nonlinear generation of
phases at the boundary and a rigorous justification of the expansion
approximation. It also gives a new treatment of the evanescent modes.
In the same geometrical context the third chapter tackles the problem of
Dffractive Optics looking for approximate assymptotic solutions of any
order and considering larger times of propagation.
Finally, in a fourth chapter one constructs and tests numerical quasi
linearly exact 1D schemes for simulating long time propagation (in
space) from a boundary.
propagation of high frequency waves in homogeneous media made of two
materials with constant refractive index and split up by a straight interface.
The interface requires to describe the reflexion-transmission
phenomena at the crossing of the discontinuity. The approach is the
Geometric Optics.
The studied tyical example is the Maxwell-Lorentz system with added
various equations which decribe each media polarization.
The novelty in this work comes from the dispersive aspect of the
equations and the consideration of the exact boundary equations.
In this frame the dispersion relation, or the characteristic variety is
not homogeneous, which implies that the group velocities do depend on
the size of the frequencies, not only on their direction.
For boundary value problem, this has the consequence that new
characteristic phases coming from the nonlinear intercations between
the existing phases and the boundary are created.
The first chapter sets the problem in an historical and mathematical
context. There is also a summary of the three next chapters.
The second chapter which is central deals with the Geometric Optics
analysis for the transmission problem using assymptotic expansion of
any order. There is a precise analysis of the nonlinear generation of
phases at the boundary and a rigorous justification of the expansion
approximation. It also gives a new treatment of the evanescent modes.
In the same geometrical context the third chapter tackles the problem of
Dffractive Optics looking for approximate assymptotic solutions of any
order and considering larger times of propagation.
Finally, in a fourth chapter one constructs and tests numerical quasi
linearly exact 1D schemes for simulating long time propagation (in
space) from a boundary.
Cette these est consacre l'etude mathematique de la
propagation non-linaire d'ondes haute-frequence, dans des milieux
inhomognes constitues de deux matriaux d'indice de refraction constant et
separes par une interface plane. La presence de l'interface ncessite
de decrire les phnomenes de reflexion-transmission a la traverse de la
discontinuite. L'approche choisie releve de l'optique gometrique.
L'exemple typique, etudie, est le systeme d'quations Maxwell-Lorentz
complete de diverses quations dcrivant la polarisation de chaque milieux.
La nouveaute de ce travail vient du caractere dispersif des quations
et de la prise en compte des quations de bord exactes.
Dans ce cadre la relation de dispersion ou variete caractristique n'est pas
homogne ce qui implique une reelle dpendance des vitesses de groupe
vis-a-vis de la taille des frequences et pas seulement de leur direction.
Au niveau du probleme limite ceci a pour consquence la creation de
nouvelles phases caracterisriques issues des intractions
non-lineaires des phases existentes avec le bord.
Le premier chapitre re-situe la problematique dans un contexte
historique et mathematique. Il y est egalement donne un resume des
trois autres chapitres. Le second chapitre, coeur de la these,
concerne l'analyse de l'Optique Gomtrique pour le problme de
transmission avec des dveloppements assymptotiques tous ordres. Il
contient une analyse precise de la generation non-linaire des phases
au bord et justifie rigoureusement l'approximation du
developpement. Il donne galement un nouveau traitement des modes evanescents.
Dans le meme contexte geomtrique, le troisime chapitre aborde le
probleme de l'Optique Diffractive avec la recherche de solutions
assymptotiques approchees a tous ordres pour des temps de propagation plus long.
Enfin, dans un quatrieme chapitre sont construits et testes des shemas
numriques 1D quasi linairement exacts pour simuler la propagation (en variable
d'espace) en temps long d'ondes issues d'un bord.
propagation non-linaire d'ondes haute-frequence, dans des milieux
inhomognes constitues de deux matriaux d'indice de refraction constant et
separes par une interface plane. La presence de l'interface ncessite
de decrire les phnomenes de reflexion-transmission a la traverse de la
discontinuite. L'approche choisie releve de l'optique gometrique.
L'exemple typique, etudie, est le systeme d'quations Maxwell-Lorentz
complete de diverses quations dcrivant la polarisation de chaque milieux.
La nouveaute de ce travail vient du caractere dispersif des quations
et de la prise en compte des quations de bord exactes.
Dans ce cadre la relation de dispersion ou variete caractristique n'est pas
homogne ce qui implique une reelle dpendance des vitesses de groupe
vis-a-vis de la taille des frequences et pas seulement de leur direction.
Au niveau du probleme limite ceci a pour consquence la creation de
nouvelles phases caracterisriques issues des intractions
non-lineaires des phases existentes avec le bord.
Le premier chapitre re-situe la problematique dans un contexte
historique et mathematique. Il y est egalement donne un resume des
trois autres chapitres. Le second chapitre, coeur de la these,
concerne l'analyse de l'Optique Gomtrique pour le problme de
transmission avec des dveloppements assymptotiques tous ordres. Il
contient une analyse precise de la generation non-linaire des phases
au bord et justifie rigoureusement l'approximation du
developpement. Il donne galement un nouveau traitement des modes evanescents.
Dans le meme contexte geomtrique, le troisime chapitre aborde le
probleme de l'Optique Diffractive avec la recherche de solutions
assymptotiques approchees a tous ordres pour des temps de propagation plus long.
Enfin, dans un quatrieme chapitre sont construits et testes des shemas
numriques 1D quasi linairement exacts pour simuler la propagation (en variable
d'espace) en temps long d'ondes issues d'un bord.
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