Branched surfaces in contact geometry
Surfaces branchées en géométrie de contact
Résumé
The purpose of this thesis is to establish links between the theory of laminations and the theory of contact structures, via branched surfaces. This will is motivated by the existence of links between tight contact structures and taut foliations.
The main result is a sufficient condition for a branched surface B in a 3-dimensional manifold V to fully carry a lamination. It implies a sufficient condition for the lift of B in the universal cover of V to fully carry a lamination, which is also a necessary condition for this lamination to be essential. This result gives a piece of answer to a classical question of Gabai.
We then introduce a notion of contact structure carried by a branched surface, which generalizes the one of Oertel-Swiatkowski. At last, we give a sufficient condition for two contact structures to be carried, modulo isotopy, by the same branched surface.
The main result is a sufficient condition for a branched surface B in a 3-dimensional manifold V to fully carry a lamination. It implies a sufficient condition for the lift of B in the universal cover of V to fully carry a lamination, which is also a necessary condition for this lamination to be essential. This result gives a piece of answer to a classical question of Gabai.
We then introduce a notion of contact structure carried by a branched surface, which generalizes the one of Oertel-Swiatkowski. At last, we give a sufficient condition for two contact structures to be carried, modulo isotopy, by the same branched surface.
Le but de cette thèse est d'établir des liens entre la théorie des laminations et celle des structures de contact, via les surfaces branchées. Cette démarche est motivée par l'existence de liens étroits entre les structures de contact tendues et les feuilletages tendus.
Le résultat principal est l'obtention d'une condition suffisante pour qu'une surface branchée B d'une variété V de dimension 3 porte pleinement une lamination. Il en découle une condition suffisante pour que le rappel de B dans le revêtement universel de V porte pleinement une lamination. Cette condition est nécessaire pour que cette lamination soit essentielle. Ce résultat apporte un élément de réponse à une question classique de Gabai.
On introduit ensuite une notion de structure de contact portée par une surface branchée qui généralise celle de Oertel-Swiatkowski. Enfin, on établit une condition sufisante pour que deux structures de contact soient, à isotopie près, portées par une même surface branchée.
Le résultat principal est l'obtention d'une condition suffisante pour qu'une surface branchée B d'une variété V de dimension 3 porte pleinement une lamination. Il en découle une condition suffisante pour que le rappel de B dans le revêtement universel de V porte pleinement une lamination. Cette condition est nécessaire pour que cette lamination soit essentielle. Ce résultat apporte un élément de réponse à une question classique de Gabai.
On introduit ensuite une notion de structure de contact portée par une surface branchée qui généralise celle de Oertel-Swiatkowski. Enfin, on établit une condition sufisante pour que deux structures de contact soient, à isotopie près, portées par une même surface branchée.
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