, M ) vérifie (localement) cette équation. On dit que X est une transformation infinitésimale affine de (M, ?), c'est-à-dire que X vérifie (3.2)
, ensemble aff(M, ?) des champs affines est une sous-algère de ?(M ) de
, où G est un groupe de Lie que l'on munit d'une connexion linéaire ? de torsion et de courbure notées respectivement
, 3) et (3.4) que l'on a (3X).Z la dernière équation montre que le produit
, est-à-dire si les champs de vecteurs invariants à gauche sont aussi affines , alors le produit "·" est associatif et réciproquement ( voir G i , i = 1, 2 est isomorphe au groupe de transformations affines de R 4
, La connexion affine en question définie sur G 1 , G 2 et G 6 est biinvariante tandis que celle définie sur G 9 et G 10 est invariante à gauche
, une structure affine invariante à gauche ?, alors G est isomorphe à G 7 , G 11.a , G 11.b ,G 11
, Donc dans le cas biinvarariant , on a 5 ? dimAut(g, ·) ? 8 (voir Tableau en annexe) par conséquent 9 ? dim(Af f (G, ?)) ? 12. ii) Dans le cas où ? est invariante à gauche , 1 ? dimAut(g, ·) ? 6 par conséquent 5 ? dim(Af f (G, ?)) ? 10, Ci dessous en annexe nous déterminons les automorphismes des algèbres de Lie munies de la structure symétrique à gauche déduite de la forme symplectique dans les cas non unimodulaires
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