Quelques propriétés des algèbres de von Neumann
engendrées par des q-Gaussiens

Résumé : Ce travail est au confluent de la théorie des algèbres d'opérateurs
et des probabilités non-commutatives. Nous étudions les propriétés
des algèbres de von Neumann, $\Gamma_{q}(H_{\R})$, engendrées par
des variables Gaussiennes non-commutatives et $q$-déformées. Ces
variables $q$-Gaussiennes sont des opérateurs agissant sur l'espace
de Fock $q$-déformé, où sont réalisées les relations de
$q$-commutations canoniques.

Dans la première partie de ce mémoire, nous établissons des
inégalités à coefficients opérateurs de type Khintchine-$L^{\infty}$
pour les produits de Wick des algèbres $q$-Gaussiennes. Ces
inégalités étendent d'un côté les inégalités scalaires dues à
Haagerup dans le cas libre et d'un autre côté les inégalités à
coefficients opérateurs, pour les $q$-Gaussiens, dues à Bo\.zejko et
Speicher. A l'aide de ces inégalités nous en déduisons que les
algèbres $\Gamma_q(H_{\R})$ sont non injectives dès que
$\dim_{\R}(H_{\R})\ge 2$.

La deuxième partie est dédiée à la construction d'un modèle
asymptotique matriciel pour les variables $q$-Gaussiennes.
L'existence d'un tel modèle nous permet de prouver que les algèbres
$\Gamma_{q}(H_{\R})$ sont QWEP.

Chemin faisant, nous traitons également le cas $C^*-$algébrique et
étudions diverses généralisations des résultats précédents pour les
déformations par opérateur de Yang-Baxter et pour les déformations
$q$-Gaussiennes de type $I\!I\!I$.
Type de document :
Thèse
Mathématiques [math]. Université de Franche-Comté, 2004. Français
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Contributeur : Alexandre Nou <>
Soumis le : mercredi 31 mai 2006 - 14:33:00
Dernière modification le : vendredi 6 juillet 2018 - 15:18:04
Document(s) archivé(s) le : mardi 18 septembre 2012 - 14:30:10

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Alexandre Nou. Quelques propriétés des algèbres de von Neumann
engendrées par des q-Gaussiens. Mathématiques [math]. Université de Franche-Comté, 2004. Français. 〈tel-00077616〉

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