Localization of a polymer interacting with an interface.
Localisation d'un polymère en interaction avec une interface.
Résumé
We study different models of polymers (discrete and continuous) in the neighborhood of an interface between two solvents
(oil-water). These models give rise to a transition between a localized phase and a delocalized phase. We prove
first several convergence results of discrete models towards their associated continuous counterparts. These convergence
hold when the coupling tends to $0$ (for high temperatures) and concerns the free energy and the slope of the critical
curve at the origin. To that aim, we develop a method of coarse graining, introduced by Bolthausen and den Hollander,
which we generalize to the case of a copolymer under the influence of a random pinning potential along the
oil-water interface. We prove also a pathwise result in the case of a copolymer, which is pulled up and away
from the interface. We show in particular that inside the localized phase, the polymer comes back to the interface
only a finite number of times. Finally, we study the case of an hydrophobic homopolymer in the neighborhood of an
oil-water interface, and also under the influence of a random potential when touching the interface. Through a method
consisting of adapting the law of each excursion to its local random environment, we take into account the fact that
the polymer can target the sites in which it comes back to the interface. This allows us to improve in a quantitative way
the lower bound of the quenched critical curve.
(oil-water). These models give rise to a transition between a localized phase and a delocalized phase. We prove
first several convergence results of discrete models towards their associated continuous counterparts. These convergence
hold when the coupling tends to $0$ (for high temperatures) and concerns the free energy and the slope of the critical
curve at the origin. To that aim, we develop a method of coarse graining, introduced by Bolthausen and den Hollander,
which we generalize to the case of a copolymer under the influence of a random pinning potential along the
oil-water interface. We prove also a pathwise result in the case of a copolymer, which is pulled up and away
from the interface. We show in particular that inside the localized phase, the polymer comes back to the interface
only a finite number of times. Finally, we study the case of an hydrophobic homopolymer in the neighborhood of an
oil-water interface, and also under the influence of a random potential when touching the interface. Through a method
consisting of adapting the law of each excursion to its local random environment, we take into account the fact that
the polymer can target the sites in which it comes back to the interface. This allows us to improve in a quantitative way
the lower bound of the quenched critical curve.
Nous étudions différents modèles (discrets ou continus) de polymères au voisinage d'une interface entre $2$
solvants (huile-eau). Ces modèles
donnent tous lieu à une transition entre une phase localisée et une phase délocalisée. Nous prouvons tout d'abord
plusieurs résultats de convergence de modèles discrets vers leurs modèles continus associés. Ces convergences
ont lieu dans le cas d'un couplage faible (haute température) et concernent l'énergie libre d'une part, et la pente
de la courbe critique à l'origine d'autre part. Pour cela, nous développons une méthode de
coarse graining
introduite par Bolthausen et den Hollander que nous généralisons au cas d'un copolymère soumis à un potentiel
d'accrochage aléatoire le long de l'interface huile-eau.
Nous prouvons ensuite un résultat trajectoriel, dans le cas d'un
copolymère soumis, en l'une de ses extrémités, à une force qui le tire loin de l'interface.
Nous montrons, en particulier
qu'à l'intérieur de la phase localisée, le polymère ne touche l'interface qu'un nombre fini de fois.
Enfin, nous étudions le cas d'un homopolymère hydrophobe au voisinage d'une interface (huile-eau) et
soumis également
a un potentiel aléatoire lorsqu'il touche cette interface. Par une méthode consistant à adapter la loi de
chacune des
excusions en dehors de l'interface à son environnement aléatoire local, nous prenons en compte le fait que le polymère
peut viser les sites
où il vient toucher l'interface. Ceci permet d'améliorer de façon quantitative la borne inférieure de la courbe
critique du modèle quenched donnée jusqu'alors par la courbe critique du modèle à potentiel constant.
solvants (huile-eau). Ces modèles
donnent tous lieu à une transition entre une phase localisée et une phase délocalisée. Nous prouvons tout d'abord
plusieurs résultats de convergence de modèles discrets vers leurs modèles continus associés. Ces convergences
ont lieu dans le cas d'un couplage faible (haute température) et concernent l'énergie libre d'une part, et la pente
de la courbe critique à l'origine d'autre part. Pour cela, nous développons une méthode de
coarse graining
introduite par Bolthausen et den Hollander que nous généralisons au cas d'un copolymère soumis à un potentiel
d'accrochage aléatoire le long de l'interface huile-eau.
Nous prouvons ensuite un résultat trajectoriel, dans le cas d'un
copolymère soumis, en l'une de ses extrémités, à une force qui le tire loin de l'interface.
Nous montrons, en particulier
qu'à l'intérieur de la phase localisée, le polymère ne touche l'interface qu'un nombre fini de fois.
Enfin, nous étudions le cas d'un homopolymère hydrophobe au voisinage d'une interface (huile-eau) et
soumis également
a un potentiel aléatoire lorsqu'il touche cette interface. Par une méthode consistant à adapter la loi de
chacune des
excusions en dehors de l'interface à son environnement aléatoire local, nous prenons en compte le fait que le polymère
peut viser les sites
où il vient toucher l'interface. Ceci permet d'améliorer de façon quantitative la borne inférieure de la courbe
critique du modèle quenched donnée jusqu'alors par la courbe critique du modèle à potentiel constant.
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