Topological field theories and quantum mechanics on commutative space
Theories des champs topologiques et mecanique quantique en espace non-commutatif
Résumé
In particle physics, the Standard Model describes the interactions between fundamental particles. However, it was not able until now to unify quantum field theory and general relativity. This PhD thesis focuses on two different unification approaches, though they might show some compatibility: topological field theories and quantum mechanics on noncommutative space.
Topological field theories have been introduced by Witten some twenty years ago and have a very strong link to mathematics: their observables are topological invariants of the manifold they are defined on. In this thesis, we firs give interest to topological Yang-Mills. We develop a superspace formalism and give a systematic method of determination of the observables. This approach allows, once projected on a particular supergauge (of Wess-Zumino type), to recover the existing results but it also gives a generalisation to the case of an unspecified supergauge. We have then be able to show that the up-to-now known observables correspond to the most general form of the solutions. This superspace formalism can be applied to more complex models; the case of topological gravity is given here in example.
Quantum mechanics on noncommutative space provides an extension of the Heisenberg algebra of ordinary quantum mechanics. What differs here is that the components of the position or momentum operators do not commute with each other anymore. This implies to introduce a fundamental length. The second part of this thesis focuses on the description of the commutation algebra. Applications are made to low-dimensional quantum systems (Landau system, harmonic oscillator...) and to supersymmetric systems.
Topological field theories have been introduced by Witten some twenty years ago and have a very strong link to mathematics: their observables are topological invariants of the manifold they are defined on. In this thesis, we firs give interest to topological Yang-Mills. We develop a superspace formalism and give a systematic method of determination of the observables. This approach allows, once projected on a particular supergauge (of Wess-Zumino type), to recover the existing results but it also gives a generalisation to the case of an unspecified supergauge. We have then be able to show that the up-to-now known observables correspond to the most general form of the solutions. This superspace formalism can be applied to more complex models; the case of topological gravity is given here in example.
Quantum mechanics on noncommutative space provides an extension of the Heisenberg algebra of ordinary quantum mechanics. What differs here is that the components of the position or momentum operators do not commute with each other anymore. This implies to introduce a fundamental length. The second part of this thesis focuses on the description of the commutation algebra. Applications are made to low-dimensional quantum systems (Landau system, harmonic oscillator...) and to supersymmetric systems.
Le Modèle Standard de la physique des particules décrit les interactions entre les constituants élémentaires de la matière. Cependant, il ne parvient pas à concilier théorie quantique des champs et relativité générale. Cette thèse se focalise sur deux approches au-delà du Modèle Standard, a priori différentes mais non nécessairement
incompatibles entre elles : les théories des champs topologiques et la mécanique quantique en espace non-commutatif.
Les théories topologiques ont été introduites par Witten il y a une vingtaine d'années et possèdent un lien très étroit avec les mathématiques : leurs observables
sont des invariants topologiques de la variété d'espace-temps étudiée. Dans ce mémoire, nous nous intéressons en premier lieu à une théorie de Yang-Mills topologique. Ce modèle-jouet est ici abordé dans
un formalisme de superespace et nous dégageons une méthode systématique de détermination de ses observables. L'intérêt est double : d'une part,
retrouver les résultats obtenus précédemment dans une jauge particulière (de Wess et Zumino) et d'autre part, calculer les observables dans une superjauge quelconque. Notre approche a ainsi permis de vérifier que les observables découvertes jusque là en théorie de
Yang-Mills topologique étaient les seules possibles. Le formalisme développé peut ensuite être appliqué à des
modèles plus complexes; dans cette optique, nous détaillons ici le cas de la gravité topologique.
La mécanique quantique en espace non-commutatif propose une extension de l'algèbre de Heisenberg
de la mécanique quantique ordinaire. La différence tient au fait que les différentes composantes des opérateurs position ou moment ne commutent plus entre elles. Par conséquent, il est nécessaire de renoncer à la notion de point en introduisant une «longueur fondamentale». Nous nous intéressons dans la deuxième partie de ce
manuscrit à la description des différentes algèbres de
commutateurs rencontrées. Des applications à des systèmes quantiques en dimension deux (système de Landau, oscillateur harmonique,...) ainsi qu'une généralisation au cas de systèmes supersymétriques sont présentées.
incompatibles entre elles : les théories des champs topologiques et la mécanique quantique en espace non-commutatif.
Les théories topologiques ont été introduites par Witten il y a une vingtaine d'années et possèdent un lien très étroit avec les mathématiques : leurs observables
sont des invariants topologiques de la variété d'espace-temps étudiée. Dans ce mémoire, nous nous intéressons en premier lieu à une théorie de Yang-Mills topologique. Ce modèle-jouet est ici abordé dans
un formalisme de superespace et nous dégageons une méthode systématique de détermination de ses observables. L'intérêt est double : d'une part,
retrouver les résultats obtenus précédemment dans une jauge particulière (de Wess et Zumino) et d'autre part, calculer les observables dans une superjauge quelconque. Notre approche a ainsi permis de vérifier que les observables découvertes jusque là en théorie de
Yang-Mills topologique étaient les seules possibles. Le formalisme développé peut ensuite être appliqué à des
modèles plus complexes; dans cette optique, nous détaillons ici le cas de la gravité topologique.
La mécanique quantique en espace non-commutatif propose une extension de l'algèbre de Heisenberg
de la mécanique quantique ordinaire. La différence tient au fait que les différentes composantes des opérateurs position ou moment ne commutent plus entre elles. Par conséquent, il est nécessaire de renoncer à la notion de point en introduisant une «longueur fondamentale». Nous nous intéressons dans la deuxième partie de ce
manuscrit à la description des différentes algèbres de
commutateurs rencontrées. Des applications à des systèmes quantiques en dimension deux (système de Landau, oscillateur harmonique,...) ainsi qu'une généralisation au cas de systèmes supersymétriques sont présentées.
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