Some genericity results in multifractal analysis

Résultats de généricité en analyse multifractale

Aurélia Fraysse (1)

1 LAMA - Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées

The first result involving Hölder regularity and the Baire's categories theorem goes back to 1931. This first notion of genericity supplied by Baire's categories is of a topological nature, and can not permit to understand the size of sets considered. To fill this gap, Christensen defined the measure-theoretic notion of prevalence. There exist also stronger notions of genericity linked with those two first ones. This thesis has two purposes. On one hand, we want to know how smooth are functions in a Sobolev space, for a prevalent set. We show that almost every function is multifractal, as its Hölder exponent changes widely from point to point. We also make the link between the same result in an intersection of Besov spaces and the multifractal formalism given by applications. On the other hand, we compare notions of genericity, testing them with the previous example but also with classical problems from functional analysis.

L'étude de phénomènes d'irrégularité à l'aide des catégories de Baire date du début des années 1930. Cette notion de généricité donnée par Baire est de nature purement topologique et ne permet donc pas de quantifier la taille d'un ensemble. C'est pour remédier à cette lacune que Christensen définit une autre notion de généricité basée sur la théorie de la mesure, la prévalence. D'autres notions de généricité liées à ces deux premières ont vu le jour. Cette thèse a deux buts. Tout d'abord, regarder la régularité des fonctions d'un espace de Sobolev dans le cadre de la prévalence. Nous montrons que presque-toutes les fonctions sont multifractales, leur exposant de Hölder varie en effet d'un point à un autre. Le même résultat dans des espaces de Besov nous donne le formalisme multifractal utilisé dans les applications. Dans un second temps, nous comparons les différentes notions de généricité en les appliquant au problème déjà cité ou à des problèmes classiques d'analyse fonctionnelle.

Mots clés: wavelets; pointwise regularity; multifractal analysis; porous sets; genericity

Mots clés: ondelettes; prévalence; porosité; régularité höldérienne; analyse multifractale; généricité

Domaines: Mathématiques [math]

Aurélia Fraysse. Résultats de généricité en analyse multifractale. Mathématiques [math]. Université Paris XII Val de Marne, 2005. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00012156⟩